Wurzelkriterium

12.12.2008, 11:27

FrankyHill

Wurzelkriterium

Hallo,

ich soll diese Reihe mit Hilfe des Wurzelkriteriums auf Konvergenz prüfen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ \frac{1}{k^{k}} \end{eqnarray*}$

Wie macht man das? Was besagt das Wurzelkriterium ?

12.12.2008, 11:31

klarsoweit

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RE: Wurzelkriterium

Zitat:

Original von FrankyHill
Was besagt das Wurzelkriterium ?

Schau in der einschlägigen Literatur nach.

Zitat:

Original von FrankyHill
Wie macht man das?

Einfach das Kriterium anwenden.

12.12.2008, 11:50

FrankyHill

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RE: Wurzelkriterium
Probier ich es mal. Also...

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ \frac{1}{k^{k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\sqrt[k]{(\frac{1}{k} ) ^{k} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~ (\frac{1}{k} ) ^{k*\frac{1}{k} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

Stimmt das ??

12.12.2008, 12:06

klarsoweit

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RE: Wurzelkriterium
Im Prinzip ja, nur läßt man beim Wurzelkriterium das Summenzeichen weg. Das Kriterium wird nur auf den Summenausdruck angewendet.

12.12.2008, 12:12

FrankyHill

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RE: Wurzelkriterium
Danke!! smile

12.12.2008, 12:48

klarsoweit

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RE: Wurzelkriterium
Und was hast du jetzt raus? Mit der Rechnung warst du ja noch nicht am Ende.

12.12.2008, 14:29

FrankyHill

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RE: Wurzelkriterium
Habe nun :

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~1+\frac{1}{2} +\frac{1}{3}+... \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Das ist doch eine harmonische Reihe!!

Und diese ist divergent!!! Richtig?? verwirrt

12.12.2008, 14:36

klarsoweit

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RE: Wurzelkriterium
Sowas habe ich mir gedacht. Da hast du nämlich das Wurzelkriterium nicht verstanden. Also:

Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty~a_k \end{eqnarray*}$ ist konvergent, wenn es ein q mit 0 <= q < 1 gibt, so daß für alle k $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{|a_k|} \leq q \end{eqnarray*}$ ist.

12.12.2008, 14:58

FrankyHill

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RE: Wurzelkriterium
Aber was ist hier mein q ? Kenne es von der geometrischen Reihe das ich dort den Quotienten berechne und der mir mein q liefert.

12.12.2008, 15:07

FrankyHill

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RE: Wurzelkriterium
Habe das grad mal genau so gemacht. Bekomme dann aber keinen gemeinsamen Quotienten.

Sieht dann ehr so aus

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ,\frac{2}{3} ,\frac{3}{4} ,\frac{4}{5}... \end{eqnarray*}$

12.12.2008, 15:18

klarsoweit

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RE: Wurzelkriterium

Zitat:

Original von FrankyHill
Aber was ist hier mein q ? Kenne es von der geometrischen Reihe das ich dort den Quotienten berechne und der mir mein q liefert.

Du mußt auf irgendeine Weise ein passendes q bestimmen. Wie ist völlig wurscht. Häufig nimmt man den Grenzwert.

Zitat:

Original von FrankyHill
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} ,\frac{2}{3} ,\frac{3}{4} ,\frac{4}{5}... \end{eqnarray*}$

Was hast du da jetzt gerechnet? verwirrt

12.12.2008, 19:49

FrankyHill

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Also ich habe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$

wenn k im Nenner von 1 bis unendlich groß wird, wird mein Zähler unendlich klein, aber nie null. Das bedeutet dann 0 < q < 1.

Heißt das dann $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } 0 \end{eqnarray*}$

12.12.2008, 20:05

FrankyHill

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Wie ist das wenn ich so einen Grenzwert bestimen soll

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~ (\frac{1}{7} ) ^{k} \end{eqnarray*}$

Wenn k von 1 bis unendlich läuft muss es doch heißen $\begin{eqnarray*} 0 < q < \frac{1}{7} \end{eqnarray*}$

Was dann auch $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } 0 \end{eqnarray*}$ entspricht ... ?

13.12.2008, 12:01

klarsoweit

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Zitat:

Original von FrankyHill
Heißt das dann $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } 0 \end{eqnarray*}$

Warum so unvollständig? Das heißt: $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty }~\frac 1 k = 0 \end{eqnarray*}$
Du kannst also jedes beliebige q zwischen 0 und 1 nehmen.

Zitat:

Original von FrankyHill
Wenn k von 1 bis unendlich läuft muss es doch heißen $\begin{eqnarray*} 0 < q < \frac{1}{7} \end{eqnarray*}$

Wenn du das Wurzelkriterium anwendest, muß es erstmal heißen:
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty }~\frac 1 7 = \frac 1 7 \end{eqnarray*}$
Du kannst also ein q nehmen, das etwas größer als 1/7 ist, aber natürlich noch kleiner 1 ist.

14.12.2008, 11:33

FrankyHill

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Ok, danke.

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