Moduln

12.12.2008, 14:01	chr1s1	Auf diesen Beitrag antworten »
Moduln Einen schönen guten Tag. Wir haben diese Woche eine Übungsserie über Moduln, das Problem ist nur, dass wir das Thema nicht in der Vorlesung hatten sondern uns das halt jetzt per Serie aneignen sollen. Wir haben die Aufgabe ein kommutativen Ring mit 1 R und ein R-Modul M als Bsp zu nennen dafür, dass die Anzahl der linear unabhängigen Elemente in M kleiner ist als die Anzahl der Erzeuger in M und das soll wieder kleiner sein als die max. Länge einer echt absteigenden Kette von R-Teilmoduln von M. Meine Idee war jetzt $\begin{eqnarray} Z/nZ \end{eqnarray}$ zu nehmen, wobei gelten soll $\begin{eqnarray} n=a\cdot b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} ggT(a,b)=1 \end{eqnarray}$ . Ich bin mir schon zuerst mal unsicher ob $\begin{eqnarray} Z/nZ \end{eqnarray}$ ein Z-Modul ist. Vermute es nur. Als Multiplikation mit einem $\begin{eqnarray} c\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ würde ich halt nehmen, dass man eine Restklasse c mal auf sich selbst addiert. Dann waren meine Überlegungen, dass der Rang von M 0 ist. Da man aus der Gleichung $\begin{eqnarray} m\cdot a= 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a\in \mathbb Z \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} m \in Z/nZ \end{eqnarray}$ nicht folgern kann, dass $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ ist. Könnte ja ein vielfaches von n sein. Die Anzahl von Erzeugern ist eins, da es ja eine zyklische Gruppe ist. Und für die Kette habe ich mir überlegt, dass ja $\begin{eqnarray} Z/mZ \end{eqnarray}$ isomorph ist zu $\begin{eqnarray} Z/aZ \times Z/bZ \end{eqnarray}$ und somit hätte man die Kette $\begin{eqnarray} 0 = 0 \times 0 \subset Z/aZ \times 0 \subset Z/aZ \times Z/bZ = M \end{eqnarray}$ Soweit zu meinen Überlegungen, jetzt wäre ich dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, ob das soweit stimmt oder wo meine Denkfehler liegen. mfg
12.12.2008, 19:43	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Moduln $\begin{eqnarray} Z/nZ \end{eqnarray}$ ist ein Z-Modul, das ist richtig, die Multiplikation würde ich dann mit $\begin{eqnarray} c\cdot \overline{a}:=\overline{ca} \end{eqnarray}$ definieren. (Wie addiert man etwas (-5) mal mit sich selbst?) Dann schreibst Du etwas über "die Anzahl der linear unabhängigen Elemente in M" und den Rang, wobei ich das erste nicht eindeutig identifizieren kann und vom Rang eines Moduls noch nichts gehört habe. Die Mächtigkeit einer maximal linear unabhängigen Teilmenge ist für einen Modul imho nicht eindeutig, die maximale Mächtigkeit einer linear unabhängigen Teilmenge dagegen schon. Bei der Kette müsstest Du aufpassen, dass die Kettenglieder auch wirklich R-Moduln sind, gegebenenfalls den Isomorphismus angeben, dann sieht man das.
13.12.2008, 09:18	chr1s1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok bei der Multiplikation hast du Recht. In etwaigen Lehrbüchern habe ich nur gesehen das man es mit abelschen Gruppen so machen kann. Demnach wäre Multiplikation mit -5 dass selben, wie wenn man etwas noch 4 mal zu sich addiert und sich das negative vorzeichen "merkt" also einfach davor stehen lässt. Zu dem Rang. Wie gesagt wir hatten es nicht in der Vorlesung, aber anscheinbar ist der Rang eines Moduls die maximale Anzahl linear unabhängiger Elemente eines Moduls. Und welche Isomorphismus meinst du genau? mfg
13.12.2008, 10:01	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Netz habe ich auch nur was über den Rang freier Moduln gefunden, was hier nicht weiterhilft. Mit der maximalen Mächtigkeit einer linear unabhängigen Teilmenge fährt man aber wohl recht gut, würde ich so lassen,wenn nicht noch jemand andreres was Erhellendes beizutragen hat. Wenn Du sagst, dass $\begin{eqnarray} Z/nZ\cong Z/aZ\times Z/bZ \end{eqnarray}$ ist, so existiert doch folglich auch ein Isomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen und den kann man angeben. Natürlich ist $\begin{eqnarray} Z/aZ \end{eqnarray}$ ein $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ -Modul, aber diese Gruppe muss erst mit einer Untergruppe von $\begin{eqnarray} Z/nZ \end{eqnarray}$ identifiziert werden. Andererseits kann man auch eine zu $\begin{eqnarray} Z/aZ \end{eqnarray}$ isomorphe Untergruppe von $\begin{eqnarray} Z/nZ \end{eqnarray}$ angeben, diese muss dann aber auch wirklich ein Teilmodul sein, also mit der definierten Multilplikation die Modulaxiome erfüllen.
13.12.2008, 10:13	chr1s1	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Rang steht in der Aufgabenstellung mit dabei. Den Isomorphismus hatten wir als Satz in der Vorlesung bewiesen. Wenn das sonst so stimmen könnte, dann bin ich beruhigt, dank dir für deine Hilfe. mfg

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