Berechnung der Bogenlänge eines Halbkreises

12.12.2008, 19:45

Shirker

Berechnung der Bogenlänge eines Halbkreises

Sers, ws bin ich grad voll aufm holzweg oder einfach nur blind aber:

Wie lös ich das Integral hier? bzw. wie komm ich auf die nötige Stammfunktion?

Integral von a bis b (r/(r²-x²))

Formel kommt vom einsetzen von wurzel(r²-x²) in die Formel für die Bogenlänge
Integral von a bis b (wurzel(f'(x)²+1))...

Sry wenn die Frage selten dämlich sein sollte ^^

mfg Shirker

12.12.2008, 20:00

Zizou66

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Also wir haben:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b~\frac{r}{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$

nach welcher Variable aber soll integriert werden? Muss dahinter noch dr oder dx?

12.12.2008, 20:48

Shirker

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achso ja, dx halt - sry ^^

12.12.2008, 20:59

Zizou66

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Oh, das Integral ist zu hart für mich. Die kann ich noch nicht. Sorry, im Falle von dr hätte ich dir helfen können. Jetzt hilft dir gleich bestimmt jemand anders!

12.12.2008, 21:46

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} F(x)=-0.5 \ln(r-x)+0.5\ln(r+x)+C \end{eqnarray*}$

Zum Ableiten: http://de.wikipedia.org/wiki/Logarithmus...ng_und_Integral

12.12.2008, 22:01

outSchool

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RE: Berechnung der Bogenlänge eines Halbkreises

Zitat:

Original von Shirker
Integral von a bis b (r/(r²-x²))

Formel kommt vom einsetzen von wurzel(r²-x²) in die Formel für die Bogenlänge
Integral von a bis b (wurzel(f'(x)²+1))...

Nach Einsetzen erhalte ich

$\begin{eqnarray*} B(x) = \int_{a}^{b}~\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}~dx = \int_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2}}~dx \end{eqnarray*}$

Substituiere

$\begin{eqnarray*} x = r \cdot sin(u) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{du} = r \cdot cos(u) \end{eqnarray*}$

Nachdem du das Integral gelöst hast, mache die Rücksubstitution

$\begin{eqnarray*} u = arcsin(\frac{x}{r}) \end{eqnarray*}$

12.12.2008, 23:06

Shirker

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also erhalt ich dann nach der substitution
\int_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{1-\sin(u)²}}~du
?

oder eher:
\int_{a}^{b}~\frac{cos(u)}{\sqrt{1-\sin(u)²}}~du

versteh ned ganz wie man das dx ersetzt ^^

12.12.2008, 23:08

Shirker

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also erhalt ich dann nach der substitution
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{1-\sin(u)²}}~du \end{eqnarray*}$
?

oder eher:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~\frac{\cos(u)}{\sqrt{1-\sin(u)²}}~du \end{eqnarray*}$

versteh ned ganz wie man das dx ersetzt ^^

sry für doppelpost - wollt die formeln nur richtig schreiben....

13.12.2008, 12:05

outSchool

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Zitat:

Original von Shirker
oder eher:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~\frac{\cos(u)}{\sqrt{1-\sin(u)²}}~du \end{eqnarray*}$

dx wird ersetzt mit

$\begin{eqnarray*} dx=\cos(u)du \end{eqnarray*}$

Noch ein Tipp:

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x)+\cos^2(x)=1 \end{eqnarray*}$

Denke noch an die Rücksubstitution wegen der Integrationsgrenzen.

13.12.2008, 16:08

Shirker

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das würde dann ja aber heißen das ich auf

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~\frac{\cos(u)}{\sqrt{\cos(u)²}}~du= \int_{a}^{b}~\frac{\cos(u)}{\cos(u)}~du= \int_{a}^{b}~1~du \end{eqnarray*}$

komme...das macht doch kein sinn ^^

bzw. würde mich das auf
$\begin{eqnarray*} [u]_{a}^b = [\arcsin(\frac{x}{r})]_{a}^b = \arcsin(\frac{b}{r})- \arcsin(\frac{a}{r}) \end{eqnarray*}$
führen, was bei einsetzen der Nullpunkte für a und b des Einheitskreises mit r=1 zur Folge hätte das:
$\begin{eqnarray*} \arcsin(\frac{1}{1})- \arcsin(\frac{-1}{1})= 180 \end{eqnarray*}$
die Länge der Kurve des Einheitskreises im Intervall [-1;1] wäre...

wobei ich gerade merke das ich meinen taschenrechner ja auf Bogenmaß umstellen müsste wobei dann eine Länge von 3,14 raus käme was wieder stimmen würde ^^

Also stimmt meine Rechnung jetzt so? ^^

14.12.2008, 18:57

outSchool

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Zitat:

Original von Shirker
das würde dann ja aber heißen das ich auf

$\begin{eqnarray*} \int \limits_{a}^{b}~\frac{\cos(u)}{\sqrt{\cos(u)²}}~du= \int \limits_{a}^{b}~\frac{\cos(u)}{\cos(u)}~du= \int \limits_{a}^{b}~1~du \end{eqnarray*}$

komme...das macht doch kein sinn ^^

Ja, doch. Denke aber an die Integrationsgrenzen.

$\begin{eqnarray*} B(x) = r \cdot \int \limits_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{r}})^2}~dx = r \cdot \int \limits_{u(a)}^{u(b)}~\frac{\cos(u)}{\sqrt{\cos^2(u)}}~du= r \cdot \int \limits_{u(a)}^{u(b)}~\frac{\cos(u)}{\cos(u)}~du= r \cdot \int \limits_{u(a)}^{u(b)}~1~du = r \cdot [u]_{u(a)}^{u(b)} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Shirker
würde mich das auf
$\begin{eqnarray*} [u]_{a}^b = [\arcsin(\frac{x}{r})]_{a}^b = \arcsin(\frac{b}{r})- \arcsin(\frac{a}{r}) \end{eqnarray*}$
führen, was bei einsetzen der Nullpunkte für a und b des Einheitskreises mit r=1 zur Folge hätte das:
$\begin{eqnarray*} \arcsin(\frac{1}{1})- \arcsin(\frac{-1}{1})= 180 \end{eqnarray*}$
die Länge der Kurve des Einheitskreises im Intervall [-1;1] wäre...
... wobei dann eine Länge von 3,14 raus käme was wieder stimmen würde ^^

Also stimmt meine Rechnung jetzt so? ^^

Das ist nur die Länge des Bogens im 1. und 2. Quadranten, also für den (oberen) Halbkreis, so wie deine Aufgabe zu lösen war.

14.12.2008, 19:23

riwe

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da find ich die lösung über partialbruchzerlegung von tigerbine schon deutlich hübscher smile

14.12.2008, 20:58

outSchool

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Zitat:

Original von riwe
da find ich die lösung über partialbruchzerlegung von tigerbine schon deutlich hübscher smile

Ich auch, wenn ich davon ausgehe, dass der Integrand

$\begin{eqnarray*} b(x) = \frac{r}{r^2-x^2} \end{eqnarray*}$

ist. Beim Nachrechnen stellte sich heraus, dass

$\begin{eqnarray*} b(x) = \frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}} \end{eqnarray*}$

ist. Das geht dann nicht mehr mit Partialbruchzerlegung, oder? verwirrt

14.12.2008, 22:21

Shirker

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Aber die Integrationsgrenzen sind da ja eher reine Formfehler oder? Trotzdem gut das du nochmal drauf hinweist - ich hätts übersehn ^^

Mein Problem ist jetzt aber wenn ich das gleiche mit r=2 und somit a=-2 und b=2 durchrechne kommt das gleiche raus (180 bzw 3,14)...was aber nicht sein kann, da der Kreisbogen ja bei nem Kreis mit r=2 größer ist als bei r=1

Oo...Ich bin grad voll verwirrt ^^

15.12.2008, 00:10

outSchool

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Zitat:

Original von Shirker
Mein Problem ist jetzt aber wenn ich das gleiche mit r=2 und somit a=-2 und b=2 durchrechne kommt das gleiche raus (180 bzw 3,14)...was aber nicht sein kann, da der Kreisbogen ja bei nem Kreis mit r=2 größer ist als bei r=1

Oo...Ich bin grad voll verwirrt ^^

Ich habe meinen Thread nochmal editiert, weil ich den Faktor r vergessen habe. Ich hoffe, deine Verwirrung löst sich damit.

15.12.2008, 00:23

riwe

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Zitat:

Original von outSchool

Zitat:

Original von riwe
da find ich die lösung über partialbruchzerlegung von tigerbine schon deutlich hübscher smile

nicht wirklich Augenzwinkern

15.12.2008, 13:34

Shirker

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Japp, das löst meine Verwirrung smile

Vielen Dank!

15.12.2008, 14:36

Shirker

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Oh man, da glaubt mans verstanden zu haben und schon taucht ne neue Frage auf unglücklich

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}~dx = r \cdot \int_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2}}~dx \end{eqnarray*}$

Wo kommt da das r vor dem Integral her? Also klar man kann das r oben auf dem Bruch rausziehen da es ja ne Konstante ist, aber wie formt man dann die Wurzel so um?
Bei mir zieh ich unten aus der Wurzel ein r raus das sich dann mit dem r von über dem Bruchstrich kürzt --> kein r mehr da zum rausziehen Oo

Also so schauts bei mir aus:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}~dx = \int_{a}^{b}~\frac{r}{\sqrt{r^2-\frac{x^2r^2}{r^2}}}~dx = \int_{a}^{b}~\frac{r}{\sqrt{r^2(1-\frac{x^2}{r^2})}}~dx = \int_{a}^{b}~\frac{r}{r\sqrt{(1-\frac{x^2}{r^2})}}~dx =\int_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2}}~dx \end{eqnarray*}$
da is kein r vorm Integral ^^

16.12.2008, 08:04

outSchool

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Zitat:

Original von Shirker
Also so schauts bei mir aus:
$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}~\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}~dx = \int_{a}^{b}~\frac{r}{\sqrt{r^2-\frac{x^2r^2}{r^2}}}~dx = \int_{a}^{b}~\frac{r}{\sqrt{r^2(1-\frac{x^2}{r^2})}}~dx = \int_{a}^{b}~\frac{r}{r\sqrt{(1-\frac{x^2}{r^2})}}~dx =\int_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2}}~dx \end{eqnarray*}$
da is kein r vorm Integral ^^

Der Fehler lag bei der Substitution. Richtig ist:

$\begin{eqnarray*} x = r \cdot sin(u) \text{ und } dx = r \cdot cos(u) du \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(x) = \int_{a}^{b}~\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}~dx = \int_{a}^{b}~\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{x}{r})^2}}~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B(u) = \int_{u(a)}^{u(b)}~\frac{r \cdot cos(u)}{\sqrt{1-sin^2(u)}}~du = \int_{u(a)}^{u(b)}r~~du = r \cdot [u]_{u(a)}^{u(b)} \end{eqnarray*}$

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