Q-lineare Abbildung

13.12.2008, 00:27	Metaphysika	Auf diesen Beitrag antworten »
Q-lineare Abbildung Hallo, wär sehr nett, wenn mir jemand einen Tip geben könnte, wie ich am besten an die Aufgabe rangehen kann. Also: Es seien V,W Vektorräume über den rationalen Zahlen Q, und $\begin{eqnarray} F: V ->W \end{eqnarray}$ mit der Eigenschaft: $\begin{eqnarray} F(a+b)=F(a)+F(b) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} a,b \in V \end{eqnarray}$ Jetzt ist zu zeigen, dass es sich bei F um eine Q-Lineare- Abbildung handeln muss. Nach Definition muss ich ja zeigen, dass folgendes gilt: $\begin{eqnarray} \lambda F(a)= F(\lambda a) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda \in Q \end{eqnarray}$ Für 1 z.B ist es ja offensichtlich, dass die Aussage gilt, aber wie zeige ich das am besten für allgemeine Lamdas aus Q? Danke im Voraus LG Metaphysika
13.12.2008, 10:26	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Q-lineare Abbildung Da stellt man zunächst fest $\begin{eqnarray} F(0) = F(0 + 0) = F(0) + F(0) = 2 F(0) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} F(0) = 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(2 a) = F(a + a) = F(a) + F(a) = 2 F(a) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(a - a) = F(0) = 0 = F(a) + F(-a) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} F(-a) = -F(a) \end{eqnarray}$ . Dann $\begin{eqnarray} F(\frac{a}{2} + \frac{a}{2}) = F(a) = 2 F(\frac{a}{2}) \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} F(\frac{a}{2})= \frac{1}{2} F(a) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} F(\sum_{i=1}^m \frac{a}{m}) = F(a) = m F(\frac{a}{m}) \end{eqnarray}$ somit $\begin{eqnarray} F(\frac{a}{m}) = \frac{1}{m} F(a) \end{eqnarray}$ und weiter $\begin{eqnarray} F(\frac{p a}{q}) = p F(\frac{a}{q}) = \frac{p}{q} F(a) \end{eqnarray}$ weil p und q ganze Zahlen sind und damit müsstest Du es dann allgemein zusammenfassen können. EDIT: Vektor a statt Zahl 1 verwendet.
13.12.2008, 12:38	Metaphysika	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo , vielen lieben Dank für deine Antwort . LG Metaphysika
13.12.2008, 14:25	Raumpfleger	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst noch ein bisschen aufpassen, Du hast ja eine Abbildung zw. Vektorräumen, d.h. die Argumente für F sind Vektoren, ich habe jedoch auf die Schnelle nur Zahlen als Argumente für F verwendet, aber Du hast das Prinzip gesehen ...

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »