Homomorphismen

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Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »
Homomorphismen
Hallo zusammen!

Kann mir vielleicht einer erklären,wie das mit dem Homomorphismus funktioniert?
Ich würde hier ja gern ein Bsp reinstellen,aber ich habe alles versucht, ich bekomm das nicht so hin,dass man es lesen kann.
Folgendes weiß ich das jeweils die linke und rechte Seite gleich sein müssen, also das das Bild von a°b ist gleich dem Bild von a verknüpt mit Bild von B.
Kann mir jemand weiterhelfen,auch wenn ich kein Bsp hier habe!

Vielen Dank!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was für ein Homomorphismus den? Das ist genau gesehen nur eben eine bestimmte Abbildung die besondere Eigenschaften hat(die linear ist).

Wenn du mir sagst was für einen Homomorphismus(Gruppen, Ring, Vektorraum etc) du meinst geb ich dir ein Beispiel
 
 
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

Es soll ein Gruppenhomorphismus sein. Und bei meinem Beispiel hab ich die Deckabbildungsgruppe des Rechtecks mit dem Verknüpfungszeichen ° und die Gruppe R3 ohne Restklasse 0 und bestimmte Werte für x.
Ich würd es so gern hier richtig hinschreiben,aber bekomm das nicht ordentlich hin.
LG
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du mit dem ersten die Symmetriegruppe eines Quadrats?
R3 ohne Restklasse 0 sagt mir überhaupt nichts. Wie ist die denn definiert?
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh,nee. Aber ich habe gerade mal weiter überlegt. Also,wenn ich 2 Gruppen mit verschiedenen Verknüpfungszeichen habe,muss ich doch auf der rechten Seite das erste Verknüpfungszeichen nehmen, z.b f(a+b) und auf der linken Seite das zweite verknüpfungszeichen,z.b. f(a) x f(b). Voraussetzung ist hier natürlich die 2 verschiedenen Verknüpfungszeichen + und x.
Und wenn auf beiden seiten das gleiche rauskommt, handelt es sich um einen Homomorphismus.

Ist das richtig?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, dass muss dann natürlich für alle a und b gelten smile
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie komm ich aber nicht weiter :-(
Versuch jetzt doch nochmal halbwegsordentlich die Aufgabenstellung zu schreiben,leider schaffe ich es nicht wirklich mit dem Formeleditor.

Æunglücklich D3, &#9702Augenzwinkern → ( R2,+) mit

Æ(x) ={ Restklasse 0 für x element { d0,d1,d2}
Restklasse 1 für x element {s1,s2,s3}


die { sollte eigentlich etwas länger sein.

Aufgabe ist, zu zeigen,ob es sich um einen Homomorphismus handelt.
Hierbei muss ich ja 4 Fälle unterscheiden und zwar folgende:
1. x und y befinden sich in der "Drehgruppe"
2. x und y befinden sich in der "Spiegelungsgruppe"
3. x befindet sich in der"Drehgruppe" und y in der "Spiegelungsgruppe"
4. x befindet sich in der Spiegelungsgruppe und y in der Drehgruppe.

Angefangen hab ich bei Fall 1:

Æ(x◦y)= ( d0◦d1) = d1 das wäre bei mir die rechte seite

Æ(x) + Æ(y)= d0 +d1 = d1 das wäre bei mir die linke seite


Somit habe ich meiner Meinung nach bewiesen,dass es sich bei Fall 1 um einen Homomorphismus handelt.

Liege ich da richtig?

Es tut mir wirklich leid,dass ich das mit dem Formeleditor nicht schreiben kann,vielleicht kann mir das jemand bei Gelegenheit erklären?:-)
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

ohhh mann,warum ist das denn jetzt so
unglücklich
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwie komm ich aber nicht weiter :-(
Versuch jetzt doch nochmal halbwegsordentlich die Aufgabenstellung zu schreiben,leider schaffe ich es nicht wirklich mit dem Formeleditor.

Æ : ( D3,° ) -> ( R2,+) mit

Æ(x) ={ Restklasse 0 für x element { d0,d1,d2}
Restklasse 1 für x element {s1,s2,s3}


die { sollte eigentlich etwas länger sein.

Aufgabe ist, zu zeigen,ob es sich um einen Homomorphismus handelt.
Hierbei muss ich ja 4 Fälle unterscheiden und zwar folgende:
1. x und y befinden sich in der "Drehgruppe"
2. x und y befinden sich in der "Spiegelungsgruppe"
3. x befindet sich in der"Drehgruppe" und y in der "Spiegelungsgruppe"
4. x befindet sich in der Spiegelungsgruppe und y in der Drehgruppe.

Angefangen hab ich bei Fall 1:

Æ ( x ° y)= ( d0 ° d1) = d1 das wäre bei mir die rechte seite

Æ(x) + Æ(y)= d0 +d1 = d1 das wäre bei mir die linke seite


Somit habe ich meiner Meinung nach bewiesen,dass es sich bei Fall 1 um einen Homomorphismus handelt.

Liege ich da richtig?

Es tut mir wirklich leid,dass ich das mit dem Formeleditor nicht schreiben kann,vielleicht kann mir das jemand bei Gelegenheit erklären?:-)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich entziffere einmal etwas.

Sei die Abbildung mit und . Überprüfe ob ein Homomorphismus ist.

In deinem ersten Fall hast du es schon mehr oder weniger richtig gezeigt, allerdings total falsch aufgeschrieben.

Seien . Dann ist auch . Damit ist also .

Schau dir mit Zitat an wie ich den Formeleditor benutzt habe. Es gibt hier natürlich auch eine Erklärung: Wie kann man Formeln schreiben?
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh,deine Schreibweise kenn ich nicht,haben es in der VL halt so geschrieben wie ich. Aber abgesehen von der Schreibweise bin ich auf dem richtigen Weg,oder?

Vielen Dank für deine Hilfe und Geduld:-)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich vermute du meinst mit R2 eben . Es ist einfach die Menge {0,1} mit 0+0 = 0, 1+0 = 0+1=1 und 1+1=0.
Aber an sowas darfst du dich nicht aufhalten.

Wie gesagt ich denke du hast es richtig verstanden, jetzt musst du es nur noch richtig aufschreiben
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Ich habe nochmal eine kleine Frage zu Homomorphismen. :-)
Gegeben sind drei Gruppen G1, G2,G3mit drei verschiedenen Verknüpfungszeichen.
Ferner sein G1 ->G2 sowie G2 -> G3 Homomorphismen.
Nun soll ich zeigen,dass G1 ->G3 auch ein Homomorphismus ist.

Ich würde es jetzt mit der Transitivität begründen. Bin ich da auch dem richtigen Weg?

Viele Grüße
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was für eine Transitivität?!

Das ganze ist eigentlich nur gerade aus rechnen der Eigenschaften, kaum hat man angefangen ist man auch schon wieder fertig Augenzwinkern
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

nur das steht in der aufgabe:

es seien , ,und noch eine dritte Gruppe mit dem Verknüpfungszeichen Quadrat. ( Das hab ich nicht mit latex geschafft.)

Ferner seien: und ein Hommorphismus

sowie und die Gruppe mit dem Verknüpfungszeichen Quadrat ein Homomorphismus.

Zeigen soll ich nun, dass
und die Gruppe mit dem Verknüpfungszeichen Quadrat auch ein Homomorphismus ist.

Rechnen kann ich doch nicht,da ich keine Eigenschaften habe!
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Achte mal auf deine Ausdrucksweise, eine Gruppe ist kein Homomorphismus!
Also sei ein Homo und ebenfalls einer. Zu zeigen ist dass ein Homo ist.

Also rechnen wir doch mal wild los: und jetzt wende der Reihe nach die Eigenschaft dass f bzw. g ein Homomorphismus ist an.
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, soweit alles klar,aber wie rechne ich mit dem Verknüpfungszeichen. Das Verknüpfungszeichen kreis ist mir ja bekannt,aber wie verknüpfe ich mit stern?

Aber ich vermute,dass das von Dozent zu Dozent verschieden ist,oder?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Stern steht einfach für eine beliebige Verknüpfung die die Menge zu einer Gruppe macht. Ob da jetzt +, *, Stern, Kreis, Apfel oder Elefant steht ist völlig egal. Wichtig ist nur das eben die Eigenschaften für ne Gruppe damit gelten.
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, du hast jetzt f ( a stern b) in g eingesetzt: aber wie soll ich das denn ausrechnen,wenn die verknüpfungszeichen nicht wirklich was aussagen???
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben doch nicht wirklich viel Wissen bis auf dass das wir einen Homomorphismus haben. Warum benutzt du diese Eigenschaft nicht einfach?!?!?!?!?!?!
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

ich hätte jetzt so argumentiert,da G1 und G2 sowie G2 und G3 Homomorphismen sind, folgt daraus nach der transitivität( die aber anscheinend nicht bei Gruppen gilt) das G1 und G3 ein Homomorphismus ist
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll den Transitivität bei Gruppen bedeuten? Wir wollen ja gerade so etwas wie eine Transitivität beweisen(naja nicht ganz aber so ähnlich Augenzwinkern )

G1 und G3 sind Gruppen und kein Homomorphismus. Achte doch bitte auf deine Sprechweise!
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

ok,ich versuche drauf zu achten.
Aber ich hab doch keine Zahlen, die ich irgendwie einsetzen kann.

also,wenn ich die zwei elemente x undy haben, muss ich doch für den Homomorphismus zeigen, dass sie einmal f( x stern y) = f(x) quadrat f(y) ist, oder nicht???
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, aber die Abbildung die du f nennst ist bei dem was wir zeigen eben . Wir wollen jetzt zeigen dass
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

aber da bleibt mir immer noch das Problem mit den Verknüpfungszeichen! ich muss doch jetzt irgendwie rechnen,addieren, multiplizieren oder sonst was?? verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ich schreibe es jetzt noch ein letztes mal, wenn du dann nicht damit anfängst gebe ich auf.

Benutze die Eigenschaft dass f ein Homomorphismus ist, also gilt! Setze das doch in die Gleichungskette die ich vorher angefangen habe ein
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich raff es nicht mit den ganzen Variabeln. :-( Aber vielen Dank für deine Hilfe.
Da es sicherlich nicht so schwer ist, versteh ich das vielleicht wann anders.
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du setzt dir selbst Denkblockaden die nicht nötig sind.

Wenn du hast und weißt dass ist warum kannst du das dann nicht einsetzen? Das ist nur Zeichenketten ersetzen
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

dann hab ich g(f(a) ° f(b))
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, und jetzt wende nochmal an dass g ein Homomorphismus ist, du die Argumente also linear rausziehen kannst
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

oh mann,ich glaub ich hab den Überblick veloren. g hieß doch bei "uns ",dass g: G2 -> G3 ein homomorphismus ist,oder?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

ja, f(a) und f(b) sind übrigens Elemente von G2
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

das heißt, ich soll g durch was anderes ersetzen??
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Für alle x,y in G2 gilt . Nutze diese Eigenschaft speziell für und und setze in ein...
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

dann ist quadrat g(y)
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

jetzt habe ich die Hälfte vergessen,weil ich mich so bemüht habe mit latex zus chreiben
der erste teil wäre dann gleich zu setzen mit g (f(a) ° f(b))
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Und jetzt nochmal komplett ordentlich, du kannst übrigens deine Beiträge auch editieren...
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

es wird jetzt sicherlich nicht ordentlich aussehen,aber dieses latex bringt mich noch um den letzen Verstand.

ich würde es jetzt so schreiben:

(g°f)(a*(stern)b) = g(f (a*b) =g(x) quadrat g(y) =g(f(a) °f(b)


nicht richtig,oder unglücklich
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Schau dir doch den LaTeX-Code in meinen Beiträgen mittels Zitat an.

Zum eigentlichen:
Ich sehe hier zum einen syntaktische Fehler(mehr Klammern auf als zu) und zum anderen keine klare Struktur bzw. dass was du zeigen willst
Karlson83 Auf diesen Beitrag antworten »

Das hab ich ja versucht und dann bin ich auf Vorschau gegegangen und dann wurde mir mal gesagt,dass das nicht gültig wäre.

(g°f)(a*(stern)b) = g(f (a*b) =g(x) quadrat g(y) =g(f(a) °f(b))

so, das wäre die fehlende Klammer.
zum anderen hab ich versucht zu zeigen,dass f: G1 ->G3 ebenfalls ein Homomorphismus ist
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