Stetigkeit von Funktionen

13.12.2008, 13:50

Odania

Stetigkeit von Funktionen

Hallo Freunde ich habe folgende Aufgaben und auch schon mutmaßliche Lösungen. Ich wäre sehr dankbar wenn ihr über die Lösungen schauen würdet und mir wenn nötig Verbesserungsvorschläge machen würdet.

a) Untersuchen sie in welchen Punkten die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ , definiert durch: $\begin{eqnarray*} f(x): x \quad falls \quad x \in \mathbb Q \\ \quad sonst \quad 0 \end{eqnarray*}$
stetig ist.
b)Sei $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ so, dass $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ gibt mit
$\begin{eqnarray*} K_\epsilon(x_0) \cap D=\{x_0\} \end{eqnarray*}$ .
Zeigen sie, das jede Funktion $\begin{eqnarray*} f : D \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist. Hierbei bezeichnet $\begin{eqnarray*} K_\epsilon \{x_0\} \end{eqnarray*}$ die Menge
$\begin{eqnarray*} K_\epsilon (x_0)=\{x \in \mathbb C \mid \mid x-x_0\mid < \epsilon \} \end{eqnarray*}$ .

Meine Lösung zu a)
Beh: f ist nur in $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ stetig

Bew: 1. Fall: Es sei $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb C, x_0 \ne 0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} f(x_0)=x_0 \end{eqnarray*}$ . Es sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \setminus \mathbb Q \end{eqnarray*}$ die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Es gilt $\begin{eqnarray*} f(x_n)=0 \end{eqnarray*}$ für alle n, damit folgt
$\begin{eqnarray*} 0=f(x_n) \nrightarrow x_0=f(x_0) \end{eqnarray*}$ . Damit ist f nicht stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \in \mathbb C, x_0 \ne 0 \end{eqnarray*}$ .

2.Fall: Es sei $\begin{eqnarray*} x \notin \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , dann gilt $\begin{eqnarray*} f(x_0)=0 \end{eqnarray*}$ . Es sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert. Es gilt $\begin{eqnarray*} f(x_n)=x_n \end{eqnarray*}$ für alle n, damit $\begin{eqnarray*} x_n=f(x_n) \nrightarrow 0=f(x_0) \end{eqnarray*}$ .
Damit ist f nicht stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \notin \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

3.Fall: Es sei $\begin{eqnarray*} x_0 =0 \end{eqnarray*}$ ,dann gilt $\begin{eqnarray*} f(x_0)= x_0=f(0)=0 \end{eqnarray*}$ .
Es sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die gegen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ konvergiert.
Es gilt $\begin{eqnarray*} f(x_n)=0 \end{eqnarray*}$ für alle n, damit folgt
$\begin{eqnarray*} 0=f(x_n) \rightarrow 0=f(x_0) \end{eqnarray*}$ , damit ist f stetig in $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ .

qed.

zu b)

Beh: Jede Funktion $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ .

Bew:
Sei U eine Umgebung von $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ -Umgebung bezüglich D eines jeden $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist lediglich $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ ist selbstverständlich eine Teilmenge von U, da diese ja gerade $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ als Mittelpunkt hat.
Also folgt die Beh.

13.12.2008, 16:56

Soz.Päd.

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Guten Tag,

zu a)
Die Denkansätze, die ich in den Ausführen nachzuvollziehen meine, sind für den 1. und den 2. Fall korrekt; allerdings meine ich, man sollte die Schritte besser formulieren bzw. darlegeh,.

zu 1. Fall +2. Fall: Besser begründen bzw. ausformulieren, dass es sich um Grenzwertbetrachtungen handelt, beispielsweise für den ersten Fall:

Es sei x0 "ungleich" 0 und x0 e Q. Dann gilt: f(xo) = 0. Wir wählen eine Folge
x(n), die gegen x0 konvergiert und für die gilt: x(n) e R \ Q für alle n e N.
Dann gilt, da f(xn) = xn für alle n e N:
lim (n gegen unendlich) f(xn) = xo. xo ist "ungleich" f(x0) = 0.

zu Fall 3: Folgende Begründung stimmt nicht, obwohl die Funktion wirklich nur im Punkt x0 = 0 stetig ist:
"Es sei x(n) eine Folge aus R, die gegen xo konvergiert.
Es gilt f(xn) = 0 für alle n ... "
denn: Wenn wir auch hier eine Folge x(n) e R \ Q wählen, ist:
f(xn) = x(n) für alle n e N.

zu 2) Ich verstehe nicht, was du zeigen willst. Warum folgt dann dadurch die Stetigkeit?

Gruß
Soz.Päd.

13.12.2008, 21:55

Odania

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Danke erst mal für die Tipps zum aufschreiben die hab ich bitter nötig.

Zu Fall drei: Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ , die wir wählen konvergiert gegen $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ also gegen Null.

ZU b:Mit der Umgebungsdefinition der Stetigkeit folgt das gesagte
Def: $\begin{eqnarray*} f: D \rightarrow \mathbb C \end{eqnarray*}$ (bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) ist stetig in $\begin{eqnarray*} x_0 \in D \end{eqnarray*}$ falls es zu jeder Umgebung U von $\begin{eqnarray*} f(x_o) \end{eqnarray*}$ eine Umgebung V von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bezüglich D gibt, sodass $\begin{eqnarray*} f(V) \subset U \end{eqnarray*}$ ist.

PS:sag mal warum nennst du dich soz.päd. und schreibst bei mathe

14.12.2008, 02:31

Soz.Päd.

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Guten Tag,

a) Fall 3)
Es sei xn eine beliebige Folge in R, die gegen "0" konvergiert.
(Anmerkung: Wichtig ist, dass es sich um eine beliebige Folge handelt, da das Stetigkeitskriterium die Gültigkeit für "jede Folge" verlangt, die gegen xo konvergiert).
Für jedes n gilt dann entweder xn e Q oder xn e R \ Q.
Also gilt für jedes n e N entweder
f(xn) = 0, wenn xn e Q, oder
f(xn) = xn, wenn xn e R \ Q.

Da aber xn selbst gegen 0 konvergiert, gilt auf jeden Fall, egal, wie die Folge zusammengesetzt ist (Die Folge könnte nur aus Gliedern mit xn e Q zusammengesetzt sein, oder nur aus Gliedern mit xn e R \ Q, oder es könnte sich um eine Folge handeln, die sowohl Glieder mit xn e Q als auch Glieder mit
xn e R \ Q enthält.):
lim (n gegen unendlich) f(xn) = 0, worau die Stetigkeit folgt.

b) Es sei eine Umgebung V von f(xo) gegeben. Als Umgebung U wählen wir alle x e D, die folgende Ungleichung erfüllen:
Betrag (x - xo) < e,
wobei e > 0 so gewählt ist, dass
der Durchschnit von K(e)[xo] mit D gleich {xo} ist.
Dann besteht die so definierte Umgebung nur aus dem einen Punkt xo, für den natürlich gilt:
f(x0) ist in V enthalten
d.h., die aufgestellte Bedigung ist für alle x e U erfüllt.

Zu meinem Namen: Er leitet sich von meinen Beruf ab.

Gruß
Soz.Päd.

14.12.2008, 10:08

Odania

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genau das meinte ich. Ich schau mal, dass ich das noch besser formuliere. Tanzen

Danke

14.12.2008, 21:07

Odania

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Zitat:

Anmerkung: Wichtig ist, dass es sich um eine beliebige Folge handelt, da das Stetigkeitskriterium die Gültigkeit für "jede Folge" verlangt, die gegen xo konvergiert).

Aber die Folge muss schon aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ sein oder?

14.12.2008, 22:01

Soz.Päd.

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Guten Tag,

das Kriterium muss für jede Folge gelten, deren Glieder Elemente des Definitionsbereiches sind und die gegen xo konvergiert; da hier der Definitionsbereich R ist, muss also jede Folge auch aus R sein. Wäre der Definitionsbereich nur Q, müsste das Kriterium analog für jede Folge gelten, deren Glieder in Q liegen und die gegen xo konvergiert.

Gruß
Soz.Päd

15.12.2008, 06:30

Odania

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danke

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