quadratische Kostenfunktion

13.12.2008, 13:53

bony

quadratische Kostenfunktion

Guten Tag!

Kann mir vlt. jemand bei einem quadratischen Kostenfunktionsproblem weiterhelfen?

Frage: Berechne die quadratische Kostenfunkton!

gegeben:
p(x) = -10x + 250
Betriebsoptimum: 12
Minumale Stückkosten: 130

verwirrt

Hat da jemand für meine Frage eine Antwort drauf?

Danke,
bony

13.12.2008, 15:58

tigerbine

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RE: quadratische Kostenfunktion
Die Kostenfunktion soll quadratisch sein:

$\begin{eqnarray*} K(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k(x)=ax+b+\frac{c}{x} \end{eqnarray*}$

Zitat:

n der Mikroökonomie wird das Betriebsoptimum als das Minimum der durchschnittlichen totalen Kosten (Stückkosten) bezeichnet.

Berechnet wird das Betriebsoptimum, indem man die erste Ableitung der Stückkostenfunktion = 0 setzt. Setzt man anschließend den auf diese Weise ermittelten x-Wert in die Stückkostenfunktion ein, so erhält man die langfristige Preisuntergrenze.

Das gleiche Ergebnis ergibt sich, wenn man den Schnittpunkt der Grenzkostenkurve K'(x) und der Stückkostenkurve k(x) berechnet, indem man beide Funktionen gleich setzt und die Lösungsmenge bestimmt.

$\begin{eqnarray*} K'(12)=k(12) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k(x) \geq 130 \end{eqnarray*}$

13.12.2008, 17:03

bony

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Zuers Mal herzlichen dank für die neuen Ansätze: Leider kann ich damit meine Aufgaben noch nicht lösen:

Angabe: Ein Monopolbetrieb erkennt durch Marktforschung, dass für den Absatz seiner Erzeugnisse eine lineare Nachfragefunktion vorliegt.
Verkaufspreis: 170 => Absatzmenge: 8
Verkaufspreis: 50 => Absatzmenge: 20

Fixkosten betragen 480, Betriebsoptimum liegt bei 12 und die min. Stückkosten betragen 130

Berechne Nachfragefunktion und Verkaufspreis bei dem der Erlös maximal wird. Berechne die quadratische Kostenfunktion. Berechne den cournotschen Punkt und die Gewinngrenzen.

Kann mir hier noch jemand weiterhelfen?

Konnte bislang lediglich p(x) aus den ersten 2 Angaben berechnen. (p(x)=ax+b mit den 2 Gleichungen). p(x) = -10x + 250

Bitte, danke für eure Unterstützung!
mfg,
bony

13.12.2008, 23:29

mYthos

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Die lineare Preisabsatzfunktion p(x) (PAF) stimmt schon mal.
Aber warum verfolgst du eigentlich tigerbine's Ansatz nicht weiter? Damit kannst du leicht die Koeffizienten der Kostenfunktion

$\begin{eqnarray*} K(x) = ax^2 + bx + c \end{eqnarray*}$

bestimmen. In deinem ersten Beitrag hast du eine Angabe verschwiegen, nämlich die der Fixkosten von 480, deswegen konnte zunächst die Kostenfunktion nicht vollständig bestimmt werden. Überlege nun, dass die Fixkosten von der Stückzahl x unabhängig sind. Welche der Koeffizienten a,b,c wirst du nun damit sofort angeben können?

Des Weiteren können die restlichen beiden Koeffizienten aus der Gesamt-Stückkostenfunktion

$\begin{eqnarray*} k(x) = ax + b + \frac{c}{x} \end{eqnarray*}$

gewonnen werden, indem wir wissen, dass bei x = 12 das Betriebsminimum* erreicht wird und dabei die minimalen Stückkosten von 130 anfallen.

* dazu ist die Ableitung von k(x) Null zu setzen.

Für den Erlös (Umsatz) e(x) oder U(x) verwende: $\begin{eqnarray*} U(x) = p(x) \cdot x \end{eqnarray*}$ , für den Gewinn: $\begin{eqnarray*} G(x) = U(x) - K(x) \end{eqnarray*}$ ; Gewinngrenzen: $\begin{eqnarray*} G(x) \geq 0 \end{eqnarray*}$ , Cournot: Gewinnmaximum mit PAF schneiden (Grenzerlös = Grenzkosten)

Also nun jetzt!

mY+

14.12.2008, 01:20

bony

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Super!

Hat schon gefunkt. Bin voll auf der Leitung gestanden.

Danke!
bony

14.12.2008, 16:08

bony

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Ich hoffe, ich hab jetzt alles richtig:

E(x)=-10x²+250x
E´(x)=-20x+250
Nachfragefunktion: x=25/2, Preis 125

Quadratische Kostenfunktion:
c=450 (gegeben)
a=25/8 (aus k´(x) mit x=12)
b=55 (aus K´(x) mit K´(x)=130)
K(x)=25/8x²+55x+450

Cournotsche Punkt:
G(x)=E(x)-K(x)
G´(x)=p(x)
x=-44/13

Wenn etwas falsch sein sollte, bitte um kurze Korrekturvorschläge!
mfg
bony

14.12.2008, 16:16

bony

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Leider glaube ich, einen Fehler zu haben, da der Cournotsche Punkt nicht negativ sein wird!

verwirrt

bony

14.12.2008, 17:10

mYthos

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Ja, da hast du einen Fehler, denn die Kostenfunktion sieht anders aus. Da die Fixkosten 480 betragen, muss c = 480 sein, schon das stimmt bei dir nicht. Also nochmals zurück an den Start!

[a = 10/3; b = 50; Erlösmax. bei x = 7,5, ergibt mit PAF den Optimalpreis 175 GE (Cournot'scher Punkt)]

mY+

14.12.2008, 17:33

bony

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Sorry, habe wirklich bei c den falschen Wert genommen. Damil leider alles Folgefehler!
Bekomme nun auch die richtigen Werte heraus!

Nochmals vielen Dank!
bony

PS: Hoffentlich darf ich dich bis zur Matura im Frühjahr nochmals kontaktieren.

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