Bedingte Varianz

13.12.2008, 14:10

Fletcher

Bedingte Varianz

Guten Tag,

gegeben seinen zwei ZV $\begin{eqnarray*} X,Y \in L_2(\Omega,\mathcal A, P) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} \sigma(Y) \end{eqnarray*}$ sei eine Teil-Sigma-Algebra von $\begin{eqnarray*} \mathcal A \end{eqnarray*}$ Wir wollen zeigen, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} Var[X]=E[Var[X|Y]]+Var[E[X|Y]] \end{eqnarray*}$

Ich gehe von der rechten Seite aus und verwende die Definitionen. Das haut alles wunderbar hin bis zu diesem Punkt:

$\begin{eqnarray*} E[Var[X|Y]]+Var[E[X|Y]]=E[E[X^2|Y]]-(E[X|Y])^2+E[E[X|Y]^2]-(E[E[X|Y]])^2 \end{eqnarray*}$

Ich möchte jetzt zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} E[E[X^2|Y]]=E[X^2] \end{eqnarray*}$ , mit den anderen Termen würde es dann ja analog funktionieren:

Sei $\begin{eqnarray*} \Omega=\sum_{i=1}^n B_i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} E[E[X^2|Y]]=\int E[X^2|Y]P(d\omega)=\int \sum_{i=1}^n E_i[X^2]1_{B_i}(\omega)P(d\omega)=\sum_{i=1}^n \int_{B_i} E_i[X^2]P(d\omega)=\int_{\Omega}E[X^2]P(d\omega)=E[E[X^2]]=E[X^2] \end{eqnarray*}$

Dabei wurde der Satz von der monotonen Konvergenz verwendet um Summe und Integral zu vertauschen. Ist das korrekt?

2) Seien $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,... \end{eqnarray*}$ unabhängige Zufallsvariablen mit $\begin{eqnarray*} E[X_i]=m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var[X_i]=\sigma^2 < \infty, i=1,2,... \end{eqnarray*}$ . Ferner sei T eine ZV, die unabhängig von $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,... \end{eqnarray*}$ ist mit Werten in $\begin{eqnarray*} \{0,1,2,...\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var[T]<\infty \end{eqnarray*}$ . Wir setzen $\begin{eqnarray*} S_T:=\sum_{i=1}^T X_i \end{eqnarray*}$ .
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} E[S_T]=m\cdot E[T] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Var[S_T]=\sigma^2\cdot E[T]+ m^2\cdot Var[T] \end{eqnarray*}$ gilt.

Die Aufgabe finde ich wirklich interessant, aber ich weiß jetzt nicht wie man sie richtig modelliert. Entscheidend ist, dass die obere Grenze der Summe keine Konstante ist sondern eine Zufallsvariable. Es geht also mit Sicherheit nicht ohne die Bedingte Erwartung.

$\begin{eqnarray*} E[S_T]=E[\sum_{i=1}^T X_i] \end{eqnarray*}$ , aber die Linearität kann man ja jetzt nicht nutzen. Ich vermute, da spielt der Indikator von T wieder eine Rolle, aber wo? Wie bekomme ich hier jetzt die bedingte Erwartung rein?

Danke für die Tips!

14.12.2008, 22:07

Fletcher

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Also bei der 1) steht immer noch ein dickes Fragezeichen dahinter, ob ich das wirklich so tun darf? Die Identitäten könnten aber auch schon aus den Rechenregeln folgen.

Bei der 2) habe ich leider auch keine Idee mehr. Logisch ist es, aber mein Problem ist es auch aufs Papier zu bringen.

Schöne Grüße Wink

15.12.2008, 16:19

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Zitat:

Original von Fletcher
Ich möchte jetzt zeigen, dass: $\begin{eqnarray*} E[E[X^2|Y]]=E[X^2] \end{eqnarray*}$

Das folgt unmittelbar aus der Definition der bedingten Erwartung:

Da gibt es die Forderung

$\begin{eqnarray*} E[ E[X\bigm| \mathcal{A})\cdot 1_A]] = E[X\cdot 1_A] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A\in\mathcal{A} \end{eqnarray*}$ ,

speziell also auch für $\begin{eqnarray*} A=\Omega \end{eqnarray*}$ .

Zu 2) Da geht es wieder um dieselbe Eigenschaft:

$\begin{eqnarray*} E[S_T] = E\left[\sum_{i=1}^T X_i\right] \stackrel{!}{=} E\left[E\left[\sum_{i=1}^T X_i \biggm| T\right]\right] \end{eqnarray*}$ .

Nun gibt es eine deterministische Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E\left[\sum_{i=1}^T X_i \biggm| T\right] = g(T) \end{eqnarray*}$ fast sicher, die gemäß

$\begin{eqnarray*} g(n) = E\left[\sum_{i=1}^T X_i \biggm| T=n\right] = E\left[\sum_{i=1}^n X_i \biggm| T=n\right] \stackrel{!}{=} E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] \end{eqnarray*}$

bestimmt werden kann - beim letzten Gleichheitszeichen (und nur da) wird allerdings die Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ von den $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ verwendet.

15.12.2008, 20:17

Fletcher

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Ja das passt, ich habe heut in der Uni die Lösungen bekommen. Mir hat gefehlt, diese Eigenschaft an dieser Stelle erneut zu verwenden. Das ist mir nicht eingefallen, dieser auch in die andere Richtung verwenden zu können.

Wir haben das jetzt so:

$\begin{eqnarray*} E[E[\sum_{i=1}^T~X_i|T]]=E[\sum_{i=1}^T~E[X_i|T]]=E[T\cdot E[X_i]]=E[X_i]\cdot E[T]=m\cdot E[T] \end{eqnarray*}$

Sehe ich das richtig, dass durch Einführung der bedingten Erwartung, die obere Grenze T der Summe aufeinmal zu einer Konstanten wird und somit das Ganze funktioniert?

15.12.2008, 21:33

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Zitat:

Original von Fletcher
Sehe ich das richtig, dass durch Einführung der bedingten Erwartung, die obere Grenze T der Summe aufeinmal zu einer Konstanten wird und somit das Ganze funktioniert?

Das ist wohl die saloppe Umschreibung für genau das:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Nun gibt es eine deterministische Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} E\left[\sum_{i=1}^T X_i \biggm| T\right] = g(T) \end{eqnarray*}$ fast sicher, die gemäß

$\begin{eqnarray*} g(n) = E\left[\sum_{i=1}^T X_i \biggm| T=n\right] = E\left[\sum_{i=1}^n X_i \biggm| T=n\right] \stackrel{!}{=} E\left[\sum_{i=1}^n X_i\right] \end{eqnarray*}$

bestimmt werden kann

Denn die Rechnung geht ja weiter mit $\begin{eqnarray*} g(n) = n\cdot E[X_1] \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} E\left[\sum_{i=1}^T X_i \biggm| T\right] = g(T) = T\cdot E[X_1] \end{eqnarray*}$ .

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