p-adische Zahl

30.08.2006, 11:46

VinSander82

Adische zahl

hallö

ich hab ne aufgabe bekommen , wo ich die 6-adische zahl (205) als 7-adische zahl schrebensoll.

ih hab es so gemacht das ich erst auf die 10 -adische zahl und dann vom 10er auf die 7er

kann mans auch direkt auf den 7er

wie?

vinni

02.09.2006, 10:22

IchDerRobot

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Indem du einen neuen Thread eröffnest - deine Frage hat nichts mit dem Thema dieses Threads zu tun!

Robot

02.09.2006, 11:31

therisen

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Ich habe das Thema mal geteilt.

VinSander82: Bitte nimm dir IchDerRobots Beitrag zu Herzen!

02.09.2006, 15:19

penizillin

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soweit ich mich erinnere geht das nicht, da man 7 nicht als (ganzzahlige) potenz von 6 ausdrücken kann.

d.h. direkte umrechnung (ohne umweg über binär-/dezimalsystem oder sonstwas) ist von basis m nach basis n nur dann möglich, wenn (o.b.d.a. m<n)

$\begin{eqnarray*} m^k = n \end{eqnarray*}$

für irgendein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

dann geht das mit der ziffergruppierung à $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ziffer.

04.09.2006, 21:17

IchDerRobot

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Die von penizillin erwähnte einfachere Umwandlung durch Betrachtung von Zifferngruppen geht hier in der Tat nicht.

Aber natürlich kann man eine 6-adische Zahl direkt in eine 7-adische Zahl umrechnen: Man muss nur 6-adisch oder 7-adisch rechnen. Es funktioniert prinzipiell wie die Umwandlung von Basis 10 oder nach Basis 10.

Beispiel:
Wir rechnen die 6-adische Zahl 123 in Basis 7 um, und rechnen dabei in Basis 7. Der Index einer Zahl gibt dabei die verwendete Basis an, falls sie von 10 verschieden ist.
$\begin{eqnarray*} 123_6 = 1*6^2 + 2*6 + 3 = 1_7 * 6_7^2 + 2_7 * 6_7 + 3_7 = 51_7 + 15_7 + 3_7 = 72_7 \end{eqnarray*}$ .
Also ist $\begin{eqnarray*} 123_6 = 72_7 \end{eqnarray*}$ .

Man muss dazu "nur" 7-adisch addieren und multiplizieren können, was schriftlich im Prinzip genauso wie 10-adisch funktioniert.

Die ganze Rechnung ginge auch 6-adisch, aber dabei müsste man wie bei der dezimalen Umwandlung von Basis 10 in eine andere Basis mit Rest dividieren, was etwas umständlicher ist.

Robot

04.09.2006, 21:28

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Zu dumm, dass es kein $\begin{eqnarray*} 72_7 \end{eqnarray*}$ gibt, höchstens $\begin{eqnarray*} 102_7 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

04.09.2006, 21:33

IchDerRobot

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Natürlich ist $\begin{eqnarray*} 72_7 = 102_7 = 69_7 \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Von derselben Bauart ist doch die Dezimalzahl elfundneunzig, oder?

Robot

04.09.2006, 21:36

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Deine Lösung hat übrigens einen Haken: Man benötigt die Potenzen der 6 im 7er-System - woher?

Man kann auch ganz normal rechen: Es ist $\begin{eqnarray*} 7_{10} = 11_{6} \end{eqnarray*}$ , im folgenden dividieren wir dann "schriftlich" im 6er-System:

code:
1: 2: 3: 4: 5: 6: 7: 8: 9: 10: 11: 12: 13: 14: 15: 16: 17:	123 : 11 = 11 11 -- 13 11 -- 2 Rest ============== 11 : 11 = 1 11 -- 0 Rest ============== 1 : 11 = 0 0 - 1 Rest

Und jetzt die Reste rückwärts aufschreiben $\begin{eqnarray*} 102_7 \end{eqnarray*}$

04.09.2006, 21:47

IchDerRobot

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Deine Lösung hat übrigens einen Haken: Man benötigt die Potenzen der 6 im 7er-System - woher?

Ich zitiere mich selbst: "Man muss dazu nur 7-adisch addieren und multiplizieren können". $\begin{eqnarray*} 6_7 * 6_7=51_7 \end{eqnarray*}$ muss man halt hinkriegen, genauso wie du beim Umrechnen von Basis 2 nach Basis 10 erstmal die dezimalen Potenzen der 2 brauchst.

Zitat:

Man kann auch ganz normal rechen: Es ist $\begin{eqnarray*} 7_{10} = 11_{6} \end{eqnarray*}$ , im folgenden dividieren wir dann "schriftlich" im 6er-System: [...]

Für eine schriftliche 6-adische Division braucht man im Allgemeinen erstmal die 6-adischen Vielfachen bis zum 5-fachen des Divisors. Bei dieser speziellen Rechnung hast du Glück, dass du nur das ein- und zwei-fache von 11_6 brauchst.

Wie ich schon schrieb: "Die ganze Rechnung ginge auch 6-adisch, aber dabei müsste man wie bei der dezimalen Umwandlung von Basis 10 in eine andere Basis mit Rest dividieren, was etwas umständlicher ist."
Ich addiere und multipliziere lieber als zu dividieren. smile

Robot

04.09.2006, 21:56

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Bei so kleinen Zahlen ist es eh Wurst, aber:

Du kannst mir nicht einreden, dass dein Verfahren mit Aufwand $\begin{eqnarray*} O(n^2) \end{eqnarray*}$ (n... Stellenzahl) effizienter ist als eines mit Aufwand $\begin{eqnarray*} O(n) \end{eqnarray*}$ . smile

EDIT: Oh, sorry, in der gegenwärtigen Form ist es bei dir $\begin{eqnarray*} O(n^3) \end{eqnarray*}$ und bei mir $\begin{eqnarray*} O(n^2) \end{eqnarray*}$ . Aber eine Veränderung der Berechnungsreihenfolge kann dein Verfahren auch auf $\begin{eqnarray*} O(n^2) \end{eqnarray*}$ bringen - Stichwort Horner-Schema. Augenzwinkern

04.09.2006, 22:13

IchDerRobot

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Die schriftliche Division mit Rest einer n-stelligen Zahl durch eine m-stellige Zahl hat Laufzeit O(nm). Nun führst du diese Division aber etwa n/m Mal aus, mit linear kleiner werdendem Dividenden, was zur Gesamtlaufzeit O(n^2) führt.

Von der Komplexität unterscheiden sich die Algorithmen also nicht. Wir könnten jetzt genauer die beteiligten Konstanten untersuchen, oder einfach sagen: 's nimmt sich nix.
smile

Robot

04.09.2006, 22:15

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Siehe mein Edit - du bist ein wenig langsam. Big Laugh

04.09.2006, 22:19

IchDerRobot

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Ja, es dauerte ein bisschen, mir die Laufzeit der Division klarzumachen.
Hab aber dein Edit gesehen, und deshalb meinen ersten Satz vor dem Abschicken gelöscht. Augenzwinkern

Robot

04.09.2006, 23:13

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Dein bedrohliches Avatar betrachtend, gebe ich jetzt angstschlotternd klein bei. geschockt

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