Nabla-Operator

13.12.2008, 15:03

Nabla

Nabla-Operator

Hallo

Ich bräuchte mal dingend Hilfe bei einer Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}*\frac{1}{\vec{|r|}} \end{eqnarray*}$

soll berechnet werden, nur weiß ich nicht viel mit Nabla anzufangen, haben wir ganz neu. verwirrt

Ich weiß, dass man schreiben kann:

$\begin{eqnarray*} \vec{|r|}=\sqrt{x²+y²+z²} \end{eqnarray*}$

und dass Nabla ist:

$\begin{eqnarray*} \nabla=\begin{pmatrix} d/dx \\ d/dy \\ d/dz \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie muss ich das jetzt ableiten verwirrt

Man kann ja die Wurzel auch noch als hoch 1/2 schreiben,

Die Ableitugn wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} 0,5*({x²+y²+z²})^{3/2} \end{eqnarray*}$

Nur wie geht das mit der inneren?

Danek für ein paar Ratschläge!

13.12.2008, 15:41

klarsoweit

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RE: Nabla-Operator

Zitat:

Original von Nabla
Man kann ja die Wurzel auch noch als hoch 1/2 schreiben,

Da die Wurzel im Nenner steht, hast du da eine Kleinigkeit vergessen.

Zitat:

Original von Nabla
Die Ableitugn wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} 0,5*({x²+y²+z²})^{3/2} \end{eqnarray*}$

Selbst wenn die Wurzel im Zähler stünde, wäre das falsch.

Zitat:

Original von Nabla
Nur wie geht das mit der inneren?

Den inneren Term nach x, y oder z ableiten, sollte ja wohl kein Problem sein.

14.12.2008, 14:02

Nabla

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Ok, man muss die Wurzel als hoch -1/2 schreiben Forum Kloppe

d.h.. die Ableitung wäre:

$\begin{eqnarray*} -0,5(x²+y²+z²)^{-3/2} \end{eqnarray*}$

Und die Innere dann:

$\begin{eqnarray*} (2x+2y+2z) \end{eqnarray*}$

Insgesamt:

$\begin{eqnarray*} -0,5(x²+y²+z²)^{-3/2}*(2x+2y+2z) \end{eqnarray*}$

Bzw:

$\begin{eqnarray*} \frac{-x-y-z}{(x²+y²+z²)^{3/2}} \end{eqnarray*}$

Hab ich das jetzt richtig so verwirrt

14.12.2008, 14:09

klarsoweit

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Zitat:

Original von Nabla
Und die Innere dann:

$\begin{eqnarray*} (2x+2y+2z) \end{eqnarray*}$

Nach was willst du denn da die innere Ableitung gebildet haben? verwirrt

Leite doch mal $\begin{eqnarray*} x^2+y^2+z^2 \end{eqnarray*}$ nach x ab.

14.12.2008, 14:33

Nabla

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Achso, das wäre doch einfach nach x abgeleitet 2x

also insgesamt sowas???

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

14.12.2008, 17:10

klarsoweit

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Was meinst du jetzt mit "insgesamt"? Was ist denn jetzt "insgesamt" die Ableitung nach x?

14.12.2008, 17:49

Nabla

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nach x abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} -x*(x²+y²+z²)^{-3/2} \end{eqnarray*}$

nach y abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} -y*(x²+y²+z²)^{-3/2} \end{eqnarray*}$

nach z abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} -z*(x²+y²+z²)^{-3/2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} *(x²+y²+z²)^{-3/2} \end{eqnarray*}$

14.12.2008, 18:03

dr_fine

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wenn du es noch etwas schöner aufschreibst hast du dann:
$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}*\frac{1}{\vec{|r|}}=-\frac{\vec{r}}{\vec{|r|}^3} \end{eqnarray*}$

14.12.2008, 18:28

Nabla

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Jopp, alles klar, danke euch, jetzt weiß ich endlich wie das funktioniert, yeha Freude

22.05.2011, 16:32

eSudio

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ist das überhaupt richtig ?! heißt das nicht am schluss dann

$\begin{eqnarray*} - \frac{r^{2}} {r^{3}} \end{eqnarray*}$

denn vorgabe ist ja

$\begin{eqnarray*} r= \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \end{eqnarray*}$

22.05.2011, 17:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von dr_fine
$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla}*\frac{1}{\vec{|r|}}=-\frac{\vec{r}}{\vec{|r|}^3} \end{eqnarray*}$

Das * ist irgendwie überflüssig. Lässt man es weg, dann ist an

$\begin{eqnarray*} \vec{\nabla} \frac{1}{\vec{|r|}} = -\frac{\vec{r}}{\vec{|r|}^3} = -\frac{\vec{r}}{r^3} \end{eqnarray*}$

nichts auszusetzen.

Sowas wie $\begin{eqnarray*} \vec{\nabla} \cdot \frac{1}{\vec{|r|}} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \vec{\nabla} \times \frac{1}{\vec{|r|}} \end{eqnarray*}$ wäre hier jedenfalls ziemlich sinnlos: Divergenz bzw. Rotation eines Skalars??? geschockt

22.05.2011, 23:00

eSudio

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$\begin{eqnarray*} -\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} * ( x^{2} + y^{2} + z^{3} )^{-\frac{3}{2} } \end{eqnarray*}$

das hab ich soweit auch ... nur wie komm ich danna uf die romel von euch ?

$\begin{eqnarray*} -\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zeigt mir ja den oberen teil der gleichung an oder nicht? da kann ich ja auch $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ schreiben oder?

hm.... aber wie komme ich dann dort weiter?!
sag ich dann einfach "hey das sind meine normalen koordinaten darum sag ich einfach r ?"

hab hier z.b. die aufgabe mit

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{r^{3} } \end{eqnarray*}$
und versuche das ähnlich herzuleiten :-)

22.05.2011, 23:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von eSudio
danna uf die romel

Schön zu sehen, wie man bewusst lässig auch die letzte Redundanz der Sprache ausreizen will.

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Nabla-Operator

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