Rätsel von Galileo Galilei - Würfel

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Rätsel von Galileo Galilei - Würfel
Hallo!

Ich bin da letztens in einem Buch auf dieses Rätsel von Galileo Galilei gestoßen...

Der Fürst der Toskana wandte sich einst in einem Brief an Galileo Galilei mit folgendem Problem: "Beim gleichzeitigen Wurf von 3 einwandfreien Würfeln konnte ich beobachten, das die Summe 11 häufiger erschien als die Summe 12 un die Summe 10 häufiger als die 9. Jedoch können meiner Meinung nach alle Summen auf genau gleich viele Arten entstehen, nämlich auf 6 Arten und sind demzufoge gleich wahrscheinlich. Können Sie, verehrter Galilei, den Widerspruch zu meinen Beobachtungen erklären?"

Hab jetzt mal probiert, mir alle möglichen Zerlegungen für die Summen 9, 10, 11 und 12 zu notieren und irgendwie die Wahrscheinlichkeiten für die Augensummen 9, 10, 11 und 12 zu errechnen.. aber ich komm nicht drauf... wir ham grad erst angefangen mit Stochastik in der Schule und ich dachte mir das wär irgendwie ne ganz gute Übung, aber es ist doch gar nich so leicht... könnt ihr mir vielleicht helfen? Gott

Fee
Egal Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem das hierbei häufig auftritt ist das man, demonstriert am Beispiel 9, die Kombination 3-3-3 nur einmal zählt gleichzeitig aber sagt jede Kombination möge gleich wahrscheinlich sein. Am einfachsten erkennt man den Unterschied wenn man sich vorstellt die Würfel mögen blau,rot und grün sein dann kann man ja auch noch die "Farbreihenfolge" ändern.
 
 
Isabella Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schreiber des Briefes hat da eine Sache nicht berücksichtigt:

Alle Zahlen treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf...allerdings (!) wird das erst deutlich bei einer seeeeeeeehr großen Zahl an Wurfen!

Also erst wenn der Schreiber 1 000000 würfeln würde stellte er fest, dass jede Zahl mit einer Wahrscheinlichkeit von 1/6 auftritt.
So oft würfelt allerdings kein Mensch....es sei denn er ist gestört und hat nichts besseres zu tun...deshalbt kommt der Schreiber auch auf so ein unsauberes Ergebnis!
Genauso ist es bei dem Werfen einer Münze!
Jede Seite tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 auf!
Nun kann es aber sein, dass du zwei Mal Kopf wirfst...würdest du dann sagen, dass deine Annahme falsch war?
Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist keine Wahrsagerei oder Zauberei...sie hilft dir lediglich nur dabei mathematisch festzustellen was am Wahrscheinlichsten ist!

Hoffe man versteht was ich meine:-)
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Fee,

sei diejenige Zufallsvariable, die die geworfene Augenzahl (1 bis 6) beim i-ten Wurf angibt. Dann gilt:

Da für alle gilt, ist , wobei wieder beliebig ist.

In deinem Fall ist . Das heißt, du musst jetzt nur noch den Erwartungswert von einem Würfel berechnen (3,5) und diesen mit 3 multiplizieren. Das ergibt als Erwartungswert für die Augensumme dreier Würfel 10,5.

Egals Erklärung trifft das ganze natürlich auf den Punkt.

Gruß, therisen


EDIT: Isabella: Die Erklärung tut nichts zur Sache Augenzwinkern
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor du dich an den 3 Würfeln versuchst, wähle lieber erstmal ein einfacheres Beispiel:

Zitat:
Lieber Galileo,
Mir ist beim Werfen mit 2 echten Würfeln aufgefallen, dass die Summe 3 viel häufiger (etwa doppelt so oft) vorkommt, als die Summe 2.
Dabei gibt es für jede der beiden Summen je nur eine Kombination der Würfel (2=1+1, 3=1+2).


Gehe erstmal dieses Problem an, es beläuft sich auf genau das gleiche nur um einiges einfacher zu Rechnen und zu Durchdenken.
brain man Auf diesen Beitrag antworten »

LOED will darauf hinaus, dass die Wahrscheinlichkeit verschiedener Summen bei 2 Würfeln verschieden ist.

Beispiel :

Günstige Möglichkeiten für die Summe 2 : ( 1 | 1 ) ; ( 1 | 1 )
Gesamte Möglichkeiten : ?

günstige Möglichkeiten / Alle Möglichkeiten

Damit kannst du dann alle Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Summen berechnen.
JochenX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von brain man
Günstige Möglichkeiten für die Summe 2 : ( 1 | 1 ) ; ( 1 | 1 )

nanana, hier wird's aber undeutlich (bis falsch): warum zählst du (1 | 1) hier doppelt auf?

Tatsächlich ist ja "erster Würfel 1, zweiter Würfel 1" und "erster Würfel 1, zweiter Würfel 1" das gleiche, also nur einmal zu zählende Wurfergebnis.
Hingegen sind "erster Würfel 1, zweiter Würfel 2" und "erster Würfel 2, zweiter Würfel 1" zwei verschiedene Wurfergebnisse, darum sind auch beide zu zählen.



Laplaceexperiment, d.h. jedes Ergebnistupel (Wurf 1, Wurf 2,....) sind gleichwahrscheinlich, gilt hier eben nur, wenn die Würfel unterscheidbar sind.
marlini Auf diesen Beitrag antworten »
galileo würfelspiel
Also, ich hab das eigentlich schon begriffen. Wenn die Frage dann noch lautet: um wie viel wahrscheinlicher ist eine 10 als eine 9, dann ist die Antwort doch: sie ist nicht wahrscheinlicher. Weil bei jedem Würf die Wahrscheinlichkeit für alle Ziffern gleich ist, nämlich 1/6. Oder?????
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