Normalteiler von Gruppen

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stern83 Auf diesen Beitrag antworten »
Normalteiler von Gruppen
Guten Abend.
Ich soll folgende Aufgabe lösen:

Beweisen Sie die Aussage:

Sei ( G, ° ) eine Gruppe mit ord(G)= 2 x n.( n element N). Sei ( U,° ) eine Untergruppe von ( G, °)mit ord ( U) = n. Dann ist U Normalteiler von G.

Meine Überlegungen:

Um zu überprüfen,ob U Normalteiler von G ist, muss die Linksnebenklassen gleich den Restnebenklassen sein.
Weiter bin ich mir sehr unsicher. Besitzt G nur 2 Untergruppen?
Und enthält U n Elemente?

Zunächste würde ich die ganzen Linksnebenklassen von U bilden, aber wie mach ich das? Mit Zahlen wäre das kein Problem,aber die Variabeln verunsichern mich.


kann mir jemand weiterhelfen?

Vielen dank
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du nächstes mal bitte die Vorschau benutzen. Ich konnte das nur entziffern weil ich die Aufgabe schon kenne.

Du hast also zwei Nebenklassen einmal und einmal wobei . Dies sieht man im Beweis vom Satz von Lagrange und sollte dir wohl bekannt sein.

Es ist doch klar dass , also dort Linksnebenklasse = Rechtsnebenklasse sein muss. Überlege dir dann welche Linksnebenklasse noch sein kann
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

verwirrt
mir ist klar,dass G zwei disjunkte Nebenklassen hat.Aber den Rest verstehe ich gerade mal gar nicht :-(
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Du weißt doch dass eine Nebenklasse ist. Dort gilt bereits das Linksnebenklasse = Rechtsnebenklasse.

Jetzt bleiben noch die Linksnebenklasse und die Rechtsnebenklasse übrig.

Begründe jetzt warum diese beiden gleich sein müssen
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

aber woher seh ich das denn?? sorry,aber ich verstehe dich wirklich gerade nicht.

das 2 mal n zeigt mir doch an,dass es zwei Unterguppen gibt,oder?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das 2n bedeutet dass der Index ist. Damit gibt es 2 Nebenklasse(nicht 2 Untergruppen!).

Jetzt weißt du dass G eine disjunkte Vereinigung seiner Nebenklassen ist. Also wobei ich mit die andere Nebenklasse bezeichne. Ist es bis hierhin klar?
 
 
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit hab ich alles verstanden
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichung gilt trivialerweise, also ist U sowohl Links- als auch Rechtsnebenklasse.

Es gilt aber auch wieder disjunkt.
Betrachte jetzt in beiden Fällen die Differenzmenge
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

wieso weißt du das die Rechts -und Linksnebenklasse gleich ist??? Besagt das irgendein Satz?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich das neutrale Element 1 von links oder rechts dranmultipliziere passiert immer dasselbe: Nichts Augenzwinkern

Das die Linksnebenklasse ist wollen wir jetzt ja gerade noch zeigen.
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

und warum nimmst du hier einfach das neutrale Element? könnte man nicht auch andere Elemente nehmen?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Klar könnte man, würde die Sache aber nur komplizierter machen.

Wir wissen doch dass es nur 2 Nebenklassen gibt. Und wir wissen das eben eine davon ist. Also nehmen wir die, weil man da dann sofort sieht dass sie eben gleich ist.

Da es nur 2 Stück gibt hab ich die andere Nebenklasse eben ganz frei mal genannt.
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

gut, aU ist dann die andere Linksnebenklasse, weil ich a mit U multipliziere.
Für die Rechtsnebenklasse würde ich Ua, also das a von rechts an U multipliziere.
Und da würde doch das gleiche rauskommen,oder
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Das wollen wir jetzt ja gerade zeigen. Es kommt im Allgemeinen etwas verschiedenes heraus aber in unserem Fall(nur 2 Nebenklassen) stimmt es.

Versuche also diese Gleichung zu begründen. Lese dir dazu am besten nochmal meine Beträge durch dort habe bereits beschrieben wie man darauf kommt dass es stimmt
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe es jetzt so verstanden, dass ich deine 1U = U1 auch so benennen könnte: bU =Ub, oder nicht?
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja und zwar genau dann wenn dein . Nur dann ist nämlich . Falls das nicht gegeben ist, so beschreibst du damit gerade mein . Bleibe aber lieber bei der Nebenklasse denn das ist einfacher und auch so gebräuchlich.
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

aber ich brauch ja noch ne zweite Nebenklasse, da kann ich doch das bU = Ub nehmen?
Meine Aufgabe ist es doch zu zeigen, das die 2 Linksnebenklassen jeweils ihrer Rechtsnebenklasse ist?
Das darf doch nicht so schwer sein,aber verstehen tu ich nur die hälfte
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das ist doch nicht die zweite wenn du mit bU die Nebenklasse U bezeichnen willst, sondern das ist diejenige die wir schon betrachtet haben.

Ich schreibe nocheinmal hin was wir jetzt haben:
- U ist dieselbe Links bzw. Rechts-Nebenklasse
- Die zweite Nebenklasse bezeichnen wir mit aU

Es gilt und jeweils disjunkt.

Deine Aufgabe ist es jetzt nur noch zu bestimmen.
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

aber wie bitte soll ich das machen? Das habe ich bei Aufgaben mit " Zahlen" noch nicht mal gemacht. unglücklich

Wir oder eher du hast mir versucht zu zeigen,dass U die eine Nebenklasse ist und aU ist die zweite Nebenklasse.

Damit wäre ich nach meinem !Stand fertig
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber G ohne U ist doch aU,oder nicht
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das stimmt. Wenn man betrachtet dann ist .

Jetzt betrachte noch einmal
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

Das sagt doch aus,das G aus den 2 disjunkten Nebenklassen besteht, also aus U und Ua
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Was passiert also wenn du die Differenzmenge bildest, also U wegnimmst?
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

dann bleibt nur noch Ua übrig???
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, und jetzt hast du einmal und einmal . Damit müssen die beiden auch gleich sein.
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

ahhhh, jetzt ist der Groschen gefallen. du bist sehr geduldig :-)
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du willst schaue ich nochmal über die komplette Argumentation nachdem du sie aufgeschrieben hast smile
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige,mein PC ist gestern abgestürzt.

Ich habe mal versucht, die ganze Sache ordentlich aufzuschreiben und würde dein Angebot gerne annehmen.

G hat 2 Nebenklassen,nämlich U1 und U2.
Damit ich für die Nebenklasse U1 die Links- bzw Rechtsnebenklasse, multipliziere ich je einmal von rechts und links das NE 1 an die Untergruppe U1.
Daraus ergibt sich: 1U =U1=U

Daraus folgt: G\1U = aU

Die zweite Nebenklasse betrachtet:

G= U1 vereinigt mit aU
darausfolgt: ( U vereinigt mit aU) \U =aU -> ergibt die Linksnebenklasse
Für die Rechtsnebenklasse:
(U vereinigt mit Ua)\U = Ua

"Fazit": Linksnebenklasse gleich Rechtsnebenklasse , das heißt U ist Normalteiler von G.

So,würde ich es schreiben,aber irgendwie ist es noch keine runde Sache
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Mhh ja ist noch nicht ganz rund. Ich würde dir auch einmal den Formeleditor ans Herz legen Augenzwinkern

Du sagst G hat 2 Nebenklassen und . Das ist in Ordnung. Dann behauptest du aber wäre eine Untergruppe und deswegen(?) multiplizierst du eine 1 daran?

Dannach folgerst du dann ohne aU eingeführt zu haben.

Der Rest ist glaube ich dann ganz in Ordnung aber du musst ein wenig mit den Bezeichnern aufpassen.

Fange doch einmal so an: G hat nach Vorraussetzung 2 Nebenklasse und . Es gilt immer dass eine Nebenklasse die Untergruppe ist bezüglich derer wir die Nebenklassen bestimmen. Sei also . Dann gilt .

Jetzt führe das aU mal ein smile
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe es doch mit dem Formeleditior versucht,aber ich habe versucht meinen Text zwischen latex einzufügen und habe dann auf Vorschau gedrückt,aber es hat sich da nichts geändert.

Eine Frage zu U1: Ist das jetzt nicht doppelt?

aU ist doch die Linksnebenklasse von U2,oder nicht?
a ist doch ein Element von U.
oder muss ich schreiben aU = U?,aber das würde doch nicht gehen,da die Nebenklasse disjunkt sind.

Und das zeige ich mit : U2 = G\U1
und a ist dann ein Element aus U2,mit dem ich die Links und rechtsnebenklasse bestimme

Oder nicht?

verwirrt
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

a darf eben nicht in U sein!

Warum nimmst du nicht einfach eine Formulierung wie:
Sei a ein Repräsentant der Links-Nebenklasse also . Und jetzt machst du den Beweis fertig Augenzwinkern
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

aber bezeichnet aU nicht sofort die Linksnebenklasse??
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

aU bezeichnet eine Linksnebenklasse, ja
stern83 Auf diesen Beitrag antworten »

gut, gut, wenn dies nicht so wäre, wäre ich noch verzweifelter.

Vielen Dank für deine tolle Hilfe.
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