[Differentialgeometrie] Verschwindende Derivationen auf kompakten Mannigfaltigkeiten |
| 13.12.2008, 18:32 | JustPassingBy | Auf diesen Beitrag antworten » |
| [Differentialgeometrie] Verschwindende Derivationen auf kompakten Mannigfaltigkeiten Sei M eine differenzierbare n-Mannigfaltigkeit und zusätzlich kompakt, zusammenhängend und orientierbar. Sei w eine (n-1) Form auf M. Dann verschwindet die (äußere) Derivation dw irgendwo auf M. Was mich zuerst verwundert ist die zusätzliche Angabe, dass M zusammenhängend und orientierbar ist, was man immer oBdA annehmen kann. (Man kann M in Zusammenhangskomponenten zerlegen. Und eine Orientierung entspricht einer nirgendswo verschwindenden n Form auf M. Wenn M also nicht orientierbar ist, dann muss dw (was eine n Form ist) irgendwo verschwinden) Naja, jedenfalls versuche ich seit einigen Tagen auf irgendeine Beweisskizze zu dieser Aussage zu kommen, allerdings bin ich keinen Schritt vorangekommen. Vor allem frage ich mich, welche Rolle die Kompaktheit spielen soll. Nach meiner Ansicht bringt es mir nichts, dass ich M mit endlich vielen Karten abdecken kann oder dass jede stetige Funktion irgendwo ein Extremwert hat. Ich bitte um Hilfe. |
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| 13.12.2008, 21:41 | Raumpfleger | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: [Differentialgeometrie] Verschwindende Derivationen auf kompakten Mannigfaltigkeiten Vielleicht hilft das weiter http://www.math.hu-berlin.de/~mohnke/cla...es/anamf-12.pdf Problem 3 lautet: Show that the volume form dM of a closed n-dimensional oriented Riemannian manifold M is not the exterior differential of an (n - 1)- form on M. ("closed" is short for "compact and without boundary"). |
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| 13.12.2008, 21:52 | JustPassingBy | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke. Ist zwar lediglich eine Umschreibung meines Problems ohne Lösung, allerdings habe ich noch nicht versucht, das Problem aus dieser Perspektive zu lösen. Hoffentlich bekomme ich mit wenig Ahnung über Riemannsche Mannigfaltigkeiten (bis auf Definition eigentlich nichts) etwas raus. |
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