Reihen, Folgen

Neue Frage »

13.12.2008, 21:31	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihen, Folgen Die Aufgabe lautet: Es seien zwei Folgen $\begin{eqnarray} a_n \geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_n>0 \end{eqnarray}$ gegeben, und es existiere $\begin{eqnarray} q:=\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}>0 \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~a_n \ \text{konvergent} \Leftrightarrow \sum_{k=1}^\infty~b_n \ \text{konvergent} \end{eqnarray}$ Nun hier fehlt mir so ein wenig der Ansatz: Fangen wir mit der Richtung an: " $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ " Es gilt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} a_n=0 \end{eqnarray}$ Angenommen $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ divergiert. Wegen $\begin{eqnarray} b_n>0 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~b_n \end{eqnarray}$ nicht alternierend $\begin{eqnarray} \Rightarrow b_n \end{eqnarray}$ keine Nullfolge. Jetzt habe ich eine Idee, aber ich weiß nicht ob die klappt: Wegen $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ Nullfolge und $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ divergent, folgt: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{0}{\infty}=0 \end{eqnarray}$ W.S, da $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}>0 \end{eqnarray}$ Ist das als Beweis gültig?
13.12.2008, 22:02	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Da sind mehrere Fehler drin. Was ist deine Annahme? Was hat das ganze mit Alternierend zu tun? Und warum soll $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ gegen unendlich gehen, nur weil es keine Nullfolge ist. Deine Behauptung, dass $\begin{eqnarray} (b_n) \end{eqnarray}$ keine Nullfolge ist, wenn die Reihe über die Glieder nicht konvergiert, ist auch falsch. Probiere es lieber mit dem Majorantenkriterium. Es gibt sicher ein $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{q}{2}\leq\frac{a_n}{b_n}\leq \frac{3q}{2} \end{eqnarray}$ erfüllt ist (Warum?). Jetzt kannst du versuchen, das Majorantenkriterium anzuwenden.
13.12.2008, 22:02	Odania	Auf diesen Beitrag antworten »
nur mal so ne dumme frage muss damit dein q stimmt nicht $\begin{eqnarray} a_n >0 \end{eqnarray}$ sein? Würde man nicht beginnen: sei a= lim $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ ???
14.12.2008, 17:18	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst mit q aber schon. $\begin{eqnarray} q:=\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}>0 \end{eqnarray}$ Nur frage ich mich wie du auf die Ungleichung: $\begin{eqnarray} \frac{q}{2}\leq \frac{a_n}{b_n}\leq \frac{3q}{2} \end{eqnarray}$ kommst. Und was bringt es mir wenn ich weiß, dass diese Ungleichung gilt: Ich muss doch zeigen, falls ich annehme dass $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ konvergent ist auch $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ konvergent ist. Sorry, aber ich verstehe das nicht ganz
14.12.2008, 17:54	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ich meine genau das $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ . Wie ich auf die Ungleichung komme, solltest du ja gerade herausfinden. Ich sage gleich noch mal etwas dazu, aber erstmal zeige ich, dass diese Ungleichung etwas bringt. Denn daraus folgt für $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ einerseits $\begin{eqnarray} b_n\leq\frac{2}{q}\cdot a_n \end{eqnarray}$ und andererseits $\begin{eqnarray} a_n\leq\frac{3q}{2}\cdot b_n \end{eqnarray}$ . Wenn jetzt eine der beiden Reihen konvergiert, was bekommt man dann mit jeweils einer der beiden Ungleichungen für die Konvergenz der anderen und warum? Zur Ungleichung an sich: Die Folge $\begin{eqnarray} c_n:=\frac{a_n}{b_n} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen $\begin{eqnarray} q \end{eqnarray}$ . Zu $\begin{eqnarray} \varepsilon:=\frac{q}{2} \end{eqnarray}$ gibt es deshalb ein $\begin{eqnarray} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray}$ , sodass für alle $\begin{eqnarray} n\geq n_0 \end{eqnarray}$ stets $\begin{eqnarray} \|c_n-q\|\leq\varepsilon \end{eqnarray}$ gilt. Durch Umstellen und Einsetzen kommt man auf die angegebene Ungleichung.
14.12.2008, 18:19	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \|c_n-q\|<\frac{q}{2}\Rightarrow \end{eqnarray}$ 1. $\begin{eqnarray} c_n-q<\frac{q}{2}\Rightarrow c_n<\frac{3q}{2} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} -c_n+q<\frac{q}{2}\Rightarrow \frac{q}{2}<c_n \end{eqnarray}$ Du hast ja jetzt schon gezeigt, dass daraus folgt: 1. $\begin{eqnarray} b_n\leq \frac{2}{q}\cdot a_n \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} a_n\leq \frac{3q}{2}\cdot b_n \end{eqnarray}$ Jetzt kann ich anfangen und erstmal annehmen, dass $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ konvergent ist. Dafür würde ich dann die erste Ungleichung nehmen. Es gilt: $\begin{eqnarray} b_n\leq \frac{2}{q}\cdot a_n \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt einfach sagen, dass $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ eine Majorante von $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ ist? Mich stört da halt noch, dass $\begin{eqnarray} \frac{2}{q} \end{eqnarray}$ . Es gilt ja nicht explizit: $\begin{eqnarray} b_n\leq a_n \end{eqnarray}$ Gut ich könnte jetzt aber sagen, $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ ist eine Nullfolge und wegen der Ungleichung muss auch $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ kleiner sein und somit wäre $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ eine Majorante.
Anzeige

14.12.2008, 18:24	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~a_n \end{eqnarray}$ konvergiert, dann konvergiert natürlich auch $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^{\infty}~\frac{q}{2}\cdot a_n \end{eqnarray}$ . Also ist das eine Majorante für $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ .
14.12.2008, 19:05	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke und für $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ konvergent kann man das gleiche machen.
14.12.2008, 19:31	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.
14.12.2008, 21:45	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
So teil b der aufgabe lautet wie folgt: Untersuchen Sie mit diesem Kriterium die Konvergenz der Reihe: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~\frac{n}{\sqrt{4n^4+n^2}+5n} \end{eqnarray}$ (durch Vergleich mit einer ähnlichen, aber eifnacheren und bekannten Reihe) Ich habe jetzt mal die divergierende Reihe: $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty~\sqrt{4n^2+1} \end{eqnarray}$ Nun habe ich $\begin{eqnarray} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\sqrt{4n^2+1}}{\frac{n}{\sqrt{4n^4+n^2}+5n}}=\sqrt{4n^2+1}\cdot \frac{\sqrt{4n^4+n^2}+5n}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{\sqrt{16n^6+8n^4+n^2}}{n}+\frac{5\cdot \sqrt{4n^2+1}}{n}=\sqrt{16n^4+8n^2+1}+5\cdot \sqrt{4+\frac{1}{n^2}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \sqrt{16n^4+8n^2+1}+5\cdot \sqrt{4+\frac{1}{n^2}}=\infty>0 \end{eqnarray}$ Kann ich jetzt behaupten, dass die Reihe divergiert? Ich sehe da vieles noch verkehrt und vorallem glaube ich, dass man da eine einfachere Reihe bekommt.
14.12.2008, 21:48	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass ein Grenzwert existiert, heißt, dass er endlich ist. Also macht das so keinen Sinn. Die harmonische Reihe würde passen.
14.12.2008, 21:58	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
Klar, das müsste dann so aussehen: $\begin{eqnarray} \frac{\frac{1}{n}}{\frac{n}{\sqrt{4n^4+n^2}+5n}}=\frac{\sqrt{4n^4+n^2}+5n}{n^2}=\sqrt{4+\frac{1}{n^2}}+\frac{5}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \lim_{n \to \infty} \sqrt{4+\frac{1}{n^2}}+\frac{5}{n} =2>0 \end{eqnarray}$ So ok?
14.12.2008, 22:01	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau. Und daraus folgt dann was?
14.12.2008, 22:04	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
Daraus müsste folgen, dass die Reihe divergiert, weil ja die harmonische Reihe divergiert. Oder stimmt das etwa nicht?

Neue Frage »

Antworten »

Reihen, Folgen

Verwandte Themen