Stetigkeit Wurzel x

14.12.2008, 12:23

stereo

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Stetigkeit Wurzel x

Hallo

smile

Wiedereinmal bin ich auf eure Hilfe angewiesen.

Meine Aufgabe:

Beweisen Sie mittels $\begin{eqnarray*} \varepsilon - \delta \end{eqnarray*}$ Definition, dass die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = \sqrt x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ stetig ist.
Ist sie für $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ auch gleichmäßig stetig?

Zur Lösung:

$\begin{eqnarray*} \left| f(x) - f(x_0)\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left| f(x) - f(x_0)\right| = \left| \sqrt x - \sqrt {x_0}\right| \end{eqnarray*}$

Ich finde keine Umformung die mir so wirklich weiter hilft, ich hab schon ein bisschen mit der Dreiecksungleichung versucht oder eine 0 hinzuzuaddieren - aber so wirklich sah ich keine Weg.

Kann mir jemand einen Tip geben? smile

smile

14.12.2008, 13:04

Mathespezialschüler

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Siehe hier oder hier. (Benutze bitte beim nächsten Mal die Suchfunktion.)

14.12.2008, 16:30

stereo

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Ich habe diese Threads ja auch schon gefunden gehabt.

Der 1. ist nicht weitergeführt worden und beim 2. fand ich wieder so eine Annahme wie $\begin{eqnarray*} \varepsilon^2 := \delta \end{eqnarray*}$ sehr aus der Luft gegriffen.

Also ich hab ja jetzt

$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt x - \sqrt{x_0}\right| \leq \left|\sqrt{x-x_0}\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

Jetzt quadrier ich die Wurzel und folger das:

$\begin{eqnarray*} x - x_0 < \varepsilon^2 := \delta \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich ja ein $\begin{eqnarray*} \delta(\varepsilon) \end{eqnarray*}$ angeben

Wäre dass schon durch $\begin{eqnarray*} \varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ gezeigt? Wäre ich mit der Stetigkeit fertig?

14.12.2008, 17:37

Mathespezialschüler

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Der erste ist zwar nicht zu Ende geführt, aber der wichtigste Schritt steht schon drin. Du setzt einfach für beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ fest als $\begin{eqnarray*} \delta:=\varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt dann mit der Abschätzung

Zitat:

Original von stereo
$\begin{eqnarray*} \left|\sqrt x - \sqrt{x_0}\right| \leq \left|\sqrt{x-x_0}\right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

, bei der du in der Wurzel den Betrag vergessen hast (!!), welche Ungleichung? Was bedeutet das dann?

14.12.2008, 18:16

stereo

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Du setzt einfach für beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ dein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ fest als $\begin{eqnarray*} \delta:=\varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ gilt ...

Das ist doch erst eine Erkenntnis, nachdem ich umgestellt habe.

Ich benutze in meinem Schritt die Dreiecksungleichung, ach ich hab die Betragsstriche in latex falsch gesetzt smile

smile

Danke für den Hinweis

Also ich kann zu jedem Epsilon ein Delta angeben sodass die Ungleichungen bestätigt sind,
jedoch frage ich mich gerade wo in der Beweisführung wird gezeigt dass diese Funktion in x_0 = 0 nicht stetig ist.

Oder irr ich mich da jetzt?

14.12.2008, 18:21

Mathespezialschüler

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Ja, da irrst du dich. Die Funktion ist auf dem gesamten Intervall $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig.

Nochmal zu dem $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ : Wenn man an die Aufgabe herangeht und umformt und dann auf $\begin{eqnarray*} \sqrt{|x-x_0|} \end{eqnarray*}$ kommt und dies kleiner $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ haben möchte, wenn $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ ist, dann wird man natürlich quadrieren und auf $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ kommen und dann wissen, dass man $\begin{eqnarray*} \delta=\varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ wählen kann. In der Tat kommt man darauf also durch Umformen.

Wenn man aber dann die Lösung aufschreibt, dann macht man das nicht in der Reihenfolge, in der man es herausgefunden hat, sondern in der Reihenfolge, wie es die Definition vorgibt und wie es mathematisch sinnvoll ist: Für ein beliebiges $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ setzt man $\begin{eqnarray*} \delta:=\delta(\varepsilon):=\varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ und sagt dann: Für alle $\begin{eqnarray*} x,x_0\in [0,\infty) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\delta \end{eqnarray*}$ folgt dann auch

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}|\leq \sqrt{|x-x_0|}<\sqrt{\delta}=\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Also ist die Funktion gleichmäßig stetig.

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14.12.2008, 18:36

stereo

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Woran seh ich denn jetzt dass die Funktion auch gleichmäßig stetig ist?

Gleichmäßig stetig beudetet doch dass das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ unabhängig vom $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Jedoch zeige ich doch grad $\begin{eqnarray*} \delta := \delta (\varepsilon) = \varepsilon^2 \end{eqnarray*}$ .

Wie du sicherlich merkst (auch noch von voriger Woche), fällt es mir nicht so leicht mit solchen Kriterien zu arbeiten.

Danke schonmal für deine Hilfe!

14.12.2008, 18:39

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von stereo
Gleichmäßig stetig beudetet doch dass das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ unabhängig vom $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ist.

Nein, das stimmt nicht. $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ hängt in der Regel immer von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ab, sonst ergäbe der Begriff der gleichmäßigen Stetigkeit keinen Sinn. Guck nochmal in der Definition nach, wovon es nicht abhängen darf. $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ war es nicht!

14.12.2008, 19:03

stereo

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Wir haben es wie folgt definiert:

Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f : D \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ heißt gleichmäßig stetig in D, wenn es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass für alle $\begin{eqnarray*} x, x' \in D \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x-x'| < \delta \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(x')| < \varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Wir haben hier noch ein Gegenbeispiel aufgeschrieben, dass es für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ nicht gilt. Woran kann ich das einfach sehen?

14.12.2008, 19:34

Mathespezialschüler

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Genau, $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ hängt also doch von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ ab. Denn man gibt sich ja erst ein $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ vor und soll dann ein $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ finden, sodass der Rest da gilt. Dabei darf das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ natürlich von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ abhängen und wird es im Allgemeinen auch tun.

Kannst du mit eigenen Worten erklären, worin der Unterschied zwischen gleichmäßiger Stetigkeit und Stetigkeit liegt? Was ist denn bei den beiden Definition verschieden? Anschaulich gesehen ändert eine gleichmäßig stetige Funktion ihre sich überall ungefähr gleich stark. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ändert sich aber immer stärker, je näher man an die Null herangeht und diese "Änderungssteigung" ist auch nicht "beschränkt".

14.12.2008, 22:11

stereo

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Der Unterschied liegt in der Erklärung des $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , eine Funktion heißt stetig sie an jedem Punkt der Funktion stetig ist.

Also so wirklich kann ich den Unterschied in Worten nicht wiedergeben, auch nach mehrmaligen lesen der Definition. Da wir ja immer eine Kugelumgebung um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ bzw $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ betrachten

14.12.2008, 22:20

Mathespezialschüler

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Wenn du ein festes $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ nimmst, dann hängt das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ i.A. sowohl von $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ als auch von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ab. Bei der gleichmäßigen Stetigkeit findest du aber für alle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ aus dem betrachteten Bereich ein gemeinsames $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , was dann also nicht mehr von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ abhängt.

11.01.2010, 17:58

thaag

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Hallo,
ich verstehe nicht warum man $\begin{eqnarray*} |\sqrt{x}-\sqrt{x_0}| \leq \sqrt{|x-x_0|} \end{eqnarray*}$ annehmen darf. Kann mir das einer erklären?

Tobi

12.01.2010, 21:53

thaag

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kann mir da niemand weiterhelfe? Das ist doch sicherlich nicht allzu schwierig?

12.01.2010, 22:13

giles

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Das darf ma nicht annehmen, das muss man zeigen.
Das geht z.B. mit Fallunterscheidung.
Fall 1: $\begin{eqnarray*} x \geq x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}}|&\leq&\sqrt{|x-x_{0}|}\\\Leftrightarrow(\sqrt{x}-\sqrt{x_{0}})^{2}&\leq&x-x_{0}\\\Leftrightarrow xx_{0}&\geq&x_{0}^{2} \checkmark \end{eqnarray*}$

Ich hab mal die ganzen Zwischenüberlegungen nicht mit kopiert, die kannst du ruhig mal selbst machen.

Fall 2: $\begin{eqnarray*} x \leq x_0 \end{eqnarray*}$ geht analog.

12.01.2010, 22:25

thaag

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Danke!, den Rest hab ich hingekriegt :-P

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