Unendliche Reihe untersuchen

14.12.2008, 15:36	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche Reihe untersuchen Folgende Reihe soll auf Konvergenz bzw. Divergenz überprüft werden: $\begin{eqnarray} \sum^{\infty}_{k=1} \frac{k^2 + k}{k^4 - 11k^2 +3} \end{eqnarray}$ Habe es zuerst mit dem Quotientenkriterium versucht. Habe alles ausmultipliziert, erhalte am Ende q=1, wodurch sich ja keine Aussage über Konvergenz/Divergenz machen lässt. Nun wollte ich es mit dem Minorantenkriterium versuchen: $\begin{eqnarray} \frac{k^2 + k}{k^4 - 11k^2 +3} \geq \frac{k^2}{k^4 - 11k^2 +3} \geq \frac{k^2}{k^4 - 11k^2 +11k^2} \geq \frac{k^2}{k^4}=\frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ Naja, das ergibt ja leider keinen Sinn, weil $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ konvergiert
14.12.2008, 15:41	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Term, über den summiert wird, verhält sich doch im unendlichen wie $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ . Was ist also die Vermutung? Man kann hier übrigens auch diese Aussage benutzen: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=384559
14.12.2008, 15:42	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann versuche es doch mal mit dem Majroantenkriterium. Man sieht doch gut, dass sich die Glieder ungefähr wie $\begin{eqnarray} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ verhalten.
14.12.2008, 16:52	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Reihe untersuchen $\begin{eqnarray} \frac{k^2 + k}{k^4 - 11k^2 +3} \leq \frac{k^2+k}{k^4} = \frac{k^2}{k^4} + \frac{k}{k^4} = \frac{1}{k^2} + \frac{1}{k^3} \end{eqnarray}$ So?
14.12.2008, 16:57	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast im Nenner was negatives weglassen, also den Nenner größer gemacht. Damit machst du den Bruch kleiner und nicht größer. Die Abschätzung stimmt also nicht.
14.12.2008, 17:15	Svenja1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche Reihe untersuchen $\begin{eqnarray} \frac{k^2 + k}{k^4 - 11k^2 +3} \leq \frac{k^2+k}{k^4-11k^2} \leq \frac{k^2+k}{k^4-11k^4} \leq \frac{k^2+k}{-10k^4} \leq -\frac{2k^2}{10k^4} \leq \frac{1}{5k^2} \leq \frac{1}{k^2} \end{eqnarray}$ Ich hoffe, ich habe jetzt nicht wieder irgendwo einen Denkfehler eingebaut
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14.12.2008, 17:40	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Ganz links stehen positive Terme. Ab dem Term $\begin{eqnarray} \frac{k^2+k}{k^4-11k^4} \end{eqnarray}$ sind es negative Zahlen. Deine Abschätzung kann also gar nicht stimmen. Da bringt es auch nichts, wenn du am Ende eine negative Zahl durch eine positve abschätzt.

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