Konvergenz einer Funktionenfolge und Gleichmäßigkeit

14.12.2008, 19:58

barthcar

Konvergenz einer Funktionenfolge und Gleichmäßigkeit

Hi Leute,

hab folgende Aufgabe:

Für jede natürliche Zahl n ist F_n(x) auf dem abgeschlossenen Intervall [0,1] definiert.
Man berechne

$\begin{eqnarray*} F(x)=\lim_{n \to \infty}F_n(x) \end{eqnarray*}$

für x in [0,1]

a) $\begin{eqnarray*} F_n(x)=\frac{1}{1+nx} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} F_n(x)=\frac{x}{1+n^2x^2} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} F_n(x)=\frac{nx}{1+n^2x^2} \end{eqnarray*}$

In welchen Fällen ist die Konvergenz gleichmäßig?

Kann mir jemand sagen wie man an so eine Aufgabe rangeht?

Danke euch...

Carlo

14.12.2008, 20:03

tmo

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RE: Konvergenz einer Funktionenfolge und Gleichmäßigkeit

Zitat:

Original von barthcar
Kann mir jemand sagen wie man an so eine Aufgabe rangeht?

Den Grenzwert berechnen. Wenn du dabei Probleme hast, musst du das schon etwas genauer schildern.

14.12.2008, 20:20

JustPassingBy

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Ich vermute, dass man bei diesen Aufgaben einfach direkt die Definition von gleichmäßiger Konvergenz nachweisen kann.

Sollte also recht direkt sein, schau dir einfach mal genau die Definition von gleichmäßiger Konvergenz an.

14.12.2008, 20:25

barthcar

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RE: Konvergenz einer Funktionenfolge und Gleichmäßigkeit
Ok einfach den Grenzwert berechnen, und wie?

zu a) Also für x=0 ist der Grenzwert offenbar 1 und für x=1 ist er 0. Wenn ich F(x)=0 als Funktion gegen die F_n(x) konvergiert annehme, kann ich das aber für die Werte 0<x<1 nicht nachweisen. (hab es über das Quotientenkriterium für Reihen probiert). Wie mache ich jetzt weiter?

Danke dir...

Carlo

14.12.2008, 20:28

barthcar

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RE: Konvergenz einer Funktionenfolge und Gleichmäßigkeit
bei b) und c) komme ich auch auf den Grenzwert 0. Und wann ist die Konvergenz nun Gleichmäßig?

14.12.2008, 20:29

tmo

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Zitat:

Original von JustPassingBy
Ich vermute, dass man bei diesen Aufgaben einfach direkt die Definition von gleichmäßiger Konvergenz nachweisen kann.

Könnte bei a) schwer werden Augenzwinkern

Zitat:

Original von barthcar
Und wann ist die Konvergenz nun Gleichmäßig?

Die Definition kennst du doch bestimmt.

zur a) Warum kannst du das für 0<x<1 nicht nachweisen? Kürze durch n und verwende die Grenzwertsätze.

14.12.2008, 20:44

barthcar

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Okay ich hatte einen kleinen Denkfehler. Also die Grenzwerte sind bei allen aufgaben 0.
Also ich kenne diese Definition:

Die Folge F_n konvergiert gleichmäßig auf M gegen die Fkt. f, wenn zu jedem $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ existiert, so daß für alle $\begin{eqnarray*} n>n_{\epsilon} \end{eqnarray*}$ und alle x in M gilt:
$\begin{eqnarray*} \mid f_n(x)-f(x) \mid <\epsilon \end{eqnarray*}$

Weiß aber wirklich nicht wie ich das jetzt hier genau anwenden muss.

Carlo

14.12.2008, 20:46

tmo

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Zitat:

Original von barthcar
Okay ich hatte einen kleinen Denkfehler. Also die Grenzwerte sind bei allen aufgaben 0.

Nicht bei a). Da ist, wie du schon gesagt hattest: F(0)=1 und sonst F(x)=0

Kennst du den Satz, dass die Grenzfunktion stetiger, gleichmäßigkonvergenter Funktionenfolgen wieder stetig ist? Dann hätte sich die a) sofort erledigt.

14.12.2008, 20:56

barthcar

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Ja den kenne ich, da hast du natürlich recht. Super Freude

Und wie sieht es bei b) und c) aus? hab immer noch keine Lösung gefunden...

14.12.2008, 20:59

tmo

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Anschaulich gesehen ist die Funktionenfolge in a) nicht gleichmäßig konvergent, weil, egal wie groß N gewählt wird, man kann x immer so klein wählen, dass nx "nicht groß genug ist".

Wenn man mal bei der b) kürzt (Man kann von $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ ausgehen, da für $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ , sowieso $\begin{eqnarray*} n_\varepsilon = 1 \end{eqnarray*}$ gewählt werden kann):

$\begin{eqnarray*} F_n(x) = \frac{1}{\frac{1}{x}+n^2x} \end{eqnarray*}$ , so sieht man, dass das Problem hier scheinbar nicht auftritt, denn wenn man x so klein wählt, wird der Nenner trotzdem sehr groß, da $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ dann sehr groß ist. Vermutung: gleichmäßige Konvergenz.

Nun musst du das noch beweisen.

14.12.2008, 21:19

barthcar

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also ich denke ja mal dass deine hilfreiche Vorarbeit die Lösung des Problems jetzt eigentlich ziemlich einfach gemacht hat. aber ich hab jetzt ziemlich lange darüber nachgedacht und ich komm einfach nicht drauf. Mit diesen Definitionen mit Epsilon und so komme ich irgendwie noch nicht so gut zurecht.
Deine Argumentation habe ich natürlich verstanden, die war ja sehr anschaulich.

Aber einen kleinen Tipp bräuchte ich glaube ich noch unglücklich

Danke dir sehr,

Carlo

14.12.2008, 21:28

tmo

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Ok noch ein Tipp:

Wähle $\begin{eqnarray*} n_\varepsilon := \frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ .

Nehme dann an, es würde für ein $\begin{eqnarray*} n \geq n_\varepsilon \end{eqnarray*}$ gelten: $\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{\frac{1}{x}+n^2x} \right| \geq \varepsilon \end{eqnarray*}$ und führe dies zum Widerspruch.

14.12.2008, 21:38

barthcar

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Okay ich werde das morgen versuchen anhand dieser Tipps selbständig hinzukriegen. Danke dir für deine Geduld und deine nützlichen Tipps!!!

Bis dann Wink

Carlo

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