Folgen, Grenzwerte

14.12.2008, 20:49	Mathequal	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen, Grenzwerte Ich habe grundlegende Verständnisfragen zu Folgen: 1. In meinem Buch stehen alle Folgen immer so da: $\begin{eqnarray} \frac{2n-6}{n+2} \end{eqnarray}$ Warum? Das ist doch eigentlich nur ein Bildungsgesetz für eine logische Zahlenreihe? Ich meine, $\begin{eqnarray} 2n+1 \end{eqnarray}$ stellt doch auch eine Folge dar? 2. Wie errechne ich den Grenzwert genau und warum amche ich das so? Ich weiß, dass ich die höchste Nennerpotenz nehmen muss und mit dieser alle Summanden der Folge teilen muss. n ist doch immer die höchste Nennerpotenz, oder? Ich meine, weil man sich ja bei der Grenzwertbestimmung für n = unendlich denkt? Und wenn im Nenner 2n steht, gehört die "2" dann auch noch zur höchsten Nennerpotenz? Wenn ich den Bruch (Folge?) dann auflöse, kürzen sich die n's bisher in allen Beispielen immer weg und man bekommt als Ergebnis einen Grenzwert. Was mache ich aber, wenn ich so eine Folge habe, die nicht aus einem Bruch besteht (siehe Punkt 1), sofern es dann Folgen sind? Nur um einen Zweifel auszuräumen: Über dem Bruch Zähler, unter dem bruch, Nenner? 3. Wie errechne ich dann den Grenzwert einer Funktion? Da muss es doch einen Trick geben? Steht nämlich in vielen Aufgabenstellungen und auch in der Kurvendiskussion muss man das Verhalten von x-> +-unendlich rausfinden. Vielleicht kann mir das einer mal am Beispiel von der Funktion: $\begin{eqnarray} f(x)= x^{3}+1,5^{2}-2,25x \end{eqnarray}$ erklären?
14.12.2008, 22:20	outSchool	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1) und 2): Lies dir bitte mal den Artikel unter folgendem Link durch: Grenzwert (Folge) und zu 3) gibt es auch noch etwas Grenzwert (Funktion) Wichtig dabei ist, dir die Sachen herauszufiltern, die du für deine Aufgaben brauchst. Zu deinem letzten Beispiel: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \pm \infty}f(x) = \lim_{x \to \pm \infty} (x^3 + 1.5^2 - 2.25x) \end{eqnarray}$ Setzt mal sehr große Werte (+/-) für x ein, dann siehst du, dass die Funktion von minus Unendlich nach plus Unendlich verläuft.
14.12.2008, 22:45	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Für ganzrationale Funktionen wie bei 3) gibt es einen ähnlichen Trick wie bei Folgen: Klammere die höchste Potenz aus. Die Summanden in der Klammer, bis auf einen, gehen dann gegen Null. Daraus sieht man, dass für eine ganzrationale Funktion lediglich der Summand mit der höchsten Potenz entscheidend ist (für das Verhalten um Unendlichen). $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} x^3+1.5x^2-2.25x = \lim_{x \to \infty} x^3(1 + \underbrace{\frac{1.5}{x}}_{\to 0} - \underbrace{\frac{2.25}{x^2}}_{\to 0}) = \lim_{x \to \infty} x^3 = \infty \end{eqnarray}$ ) So kann man es wie gesagt auch ganz allg. zeigen, dass stets die höchste Potenz (und deren Koeffizient) entscheidet *) Ich habe aus "1.5²" mal "1.5x²" gemacht - ich vermute, das hast du aus Versehen vergessen - oder ? air

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