Lin. Unabhängigkeit/ Endomorphismen

14.12.2008, 21:42

Mulder

Lin. Unabhängigkeit/ Endomorphismen

Sorry, bei der Aufgabenstellung fiel mir keine sonderlich prägnante Überschrift ein. Also, hier mal die Aufgabenstellung einfach Wort für Wort:

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Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein K-Vektorraum und sei $\begin{eqnarray*} F \in \text {End}_K(V) \end{eqnarray*}$ . Angenommen, es existiere ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F^n = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F^{n-1} \neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie: Es gibt ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ , so dass das System

$\begin{eqnarray*} ( v, F(v), F^2(v), \, ... \, , F^{n-1}(v)) = (F^k(v) \, ; \, 0 \leq k \leq n-1 ) \end{eqnarray*}$

linear unabhängig ist.
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Vorab: $\begin{eqnarray*} F^0 \end{eqnarray*}$ ist ja die Identität.
Ich weiß nicht, ob die Notation allgemein gebräuchlich ist, $\begin{eqnarray*} \text{End}_K(V) \end{eqnarray*}$ bezeichnet die Menge aller Endomorphismen von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ .

Sodele. Naja... da fehlt mir eigentlich total der Ansatz. Lineare Unabhängigkeit zeige ich doch sicher wieder, indem ich zeige, dass die Linearkombination dieser $\begin{eqnarray*} F^k \end{eqnarray*}$ nur dann 0 werden kann, wenn alle Koeffizienten 0 sind:

$\begin{eqnarray*} \lambda_0 v + \lambda_1 F(v) + ... + \lambda_{n-1}F^{n-1}(v) = 0 \, \, ,\, \, \lambda_k \in K \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lambda_0 = ... = \lambda_{n-1} = 0 \end{eqnarray*}$

Zumindest wüsste ich nicht, wie es sonst gehen sollte. Allerdings habe ich keine Ahnung, wie ich zeigen soll, dass das so gehen würde. Über $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ weiß ich ja nur, dass es ein Endomorphismus ist, also von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ abbildet. Naja, und dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ linear ist. Und die in der Aufgabenstellung geschilderte Annahme über $\begin{eqnarray*} F^n \end{eqnarray*}$ . Wenn man es recht bedenkt, weiß ich dann sogar eine ganze Menge über $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ , nur kann ich damit halt nicht viel anfangen. Augenzwinkern

Kann mir jemand da einen kleinen Hinweis geben, was ich mir da zu Nutze machen kann?

Edit: Aus $\begin{eqnarray*} F^{n-1}(v) \neq 0 \end{eqnarray*}$ kann ich keine Aussage über die "anderen" $\begin{eqnarray*} F^k(v) \end{eqnarray*}$ ableiten, oder?

14.12.2008, 22:25

Mathespezialschüler

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Wie du im edit richtig festgestellt hast, gibt es ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F^{n-1}(v)\neq 0 \end{eqnarray*}$ . Dieses $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ leistet das gewünschte. Ist nämlich

$\begin{eqnarray*} \lambda_0v+\ldots+\lambda_{n-1}F^{n-1}(v)=0 \end{eqnarray*}$ ,

so kannst du zunächst $\begin{eqnarray*} F^{n-1} \end{eqnarray*}$ auf diese Gleichung anwenden. Was ergibt sich dann? Danach setzt du das in die Gleichung ein, wendest $\begin{eqnarray*} F^{n-2} \end{eqnarray*}$ an usw.

14.12.2008, 22:26

tigerbine

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RE: Lin. Unabhängigkeit/ Endomorphismen
F ist hier also ein nilpotenter Endomorphismus. http://de.wikipedia.org/wiki/Nilpotente_Matrix

Habt ihr deren Eigenschaften schon besprochen?

14.12.2008, 22:54

Mulder

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
[...] so kannst du zunächst $\begin{eqnarray*} F^{n-1} \end{eqnarray*}$ auf diese Gleichung anwenden. Was ergibt sich dann?

Ich habe keine Ahnung. Es ergibt sich zunächst nur, dass, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda_{n-1}F^{n-1}(v)=0 \end{eqnarray*}$ sein soll, auch $\begin{eqnarray*} \lambda_{n-1}=0 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Aber allein daraus kann ich doch keine Aussage darüber treffen, ob es nicht noch andere Werte für die Koeffizienten gibt, für die die Linearkombination insgesamt 0 ergibt, oder? Vielleicht verstehe ich dich auch nicht richtig. Was meinst du denn mit " $\begin{eqnarray*} F^{n-1} \end{eqnarray*}$ auf die Gleichung anwenden"?

Zitat:

Original von tigerbine
Habt ihr deren Eigenschaften schon besprochen?

Nicht wirklich. Aber sagen wir mal so: Was eine nilpotente Matrix ist, weiß ich. In einer Übungsaufgabe sollten wir mal beweisen, dass eine nilpotente Matrix nicht invertierbar sein kann (ging ja mit dem Widerspruch, dass sonst die Einheitsmatrix = 0 sein müsste). Das ist noch präsent. Ansonsten haben wir dazu nichts gemacht in der Vorlesung.

14.12.2008, 22:57

Mathespezialschüler

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Nein, das meinte ich nicht. Du weißt doch folgendes:

$\begin{eqnarray*} F^{n-1}\Big(\lambda_0v+\ldots+\lambda_{n-1}F^{n-1}(v)\Big)=F^{n-1}(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Rechne doch mal die linke Seite aus.

14.12.2008, 23:05

Mulder

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Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Rechne doch mal die linke Seite aus.

Naja... ich kann mir da ja eventuell die Eigenschaften der Linearität mal ein bißchen zu Nutze machen. Dann wäre ich vielleicht hier:

$\begin{eqnarray*} F^{n-1}\Big(\lambda_0v+\ldots+\lambda_{n-1}F^{n-1}(v)\Big)= \lambda_0 F^{n-1}(v) + \lambda_1 F^{n-1}(F(v)) + ... + \lambda_{n-1}F^{n-1}(F^{n-1}(v)) \end{eqnarray*}$

Und das müsste dann ebenfalls 0 sein, ja?

Edit: Vielleicht stehe ich etwas auf dem Schlauch; woher weiß ich überhaupt, dass das 0 sein soll? Nach Voraussetzung gibt es ein $\begin{eqnarray*} v \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F^{n-1}(v) \neq 0 \end{eqnarray*}$ . Und? verwirrt

Edit2: Ach Quatsch, stimmt natürlich, F(0)=0 folgt ja direkt aus der Linearität. Okay, ist klar!

14.12.2008, 23:34

tigerbine

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Nilpotente Abbildungen hier haben wir das auch schon mal durchgekaut. Augenzwinkern

14.12.2008, 23:50

Mathespezialschüler

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Jetzt guck dir mal alle Summanden bis auf den ersten nochmal genau an und denke an die Voraussetzung $\begin{eqnarray*} F^n=0 \end{eqnarray*}$ .

15.12.2008, 02:03

Mulder

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Aaah, jetzt ist der Groschen gefallen. Dass $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ angewendet auf $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ ja dasselbe ist wie $\begin{eqnarray*} F² \end{eqnarray*}$ , habe ich nicht so wirklich bedacht.

Dann sind also vom ersten Summanden abgesehen alle Summanden 0, weil bei all diesen Summanden mindestens $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ angewendet wurde und die daher alle 0 sein müssen. Und $\begin{eqnarray*} F^{n-1}(v) \end{eqnarray*}$ ist ja nach Voraussetzung ungleich 0, also muss $\begin{eqnarray*} \lambda_0 \end{eqnarray*}$ auch 0 sein. Und so verfahre ich jetzt einfach weiter, als nächstes dann mit $\begin{eqnarray*} F^{n-2} \end{eqnarray*}$ etc? Probier ich mal ein bißchen mit rum, der Grundgedanke ist ja klar, dann bekomme ich es wohl irgendwie hin. Zu einer etwas sinnvolleren Uhrzeit jedenfalls...

Vielen Danke euch beiden! smile

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