konvergenz einer reihe

15.12.2008, 00:22	wahini	Auf diesen Beitrag antworten »
konvergenz einer reihe hey ich hab ein problem bei einer Konvergenz Bestimmung einer "einfachen Alternierend Reihe": $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~(-\frac{1}{2})^k \frac{3k^2-11k+5}{10k^2-6k+5} \end{eqnarray}$ ! ich komme einfach nicht drauf gegen was die Reihe konvergiert. Also meine Überlegung war : Durch das $\begin{eqnarray} (-\frac{1}{2})^k \end{eqnarray}$ ist die Reihe alternierend, aber man kann ja einfach nicht sagen, dass sie unbestimmt divergent ist, duch die folge $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ . Also hängt die Konvergenz von dieser Folge $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ ab. Ich würde es dann nachdem Majorantenkirterium abschätzen: $\begin{eqnarray} 10k^2 -6k+5 \geq 10k^2-5k = k (10k-5) \geq \frac{10k^2}{2} \end{eqnarray}$ also ist $\begin{eqnarray} \mid\frac{3k^2-11k+5}{10k^2-6k+5}\mid \leq \frac{3k^2-11k}{\frac{10k^2-6k}{2}} = \frac {k6k -22k}{k10k -6k} \end{eqnarray}$ und da $\begin{eqnarray} \frac {6k -22}{10k -6} \end{eqnarray}$ konvergenz ist , ist auch die folge $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray*}$ absolut konvergenz! Folglich ist auch die gesamte Reihe absolut konvergenz! Oder täuche ich mich da
15.12.2008, 01:27	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Was ist $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ ? Nur weil die Folge der Glieder konvergiert, heißt das noch lange nicht, dass dann auch die Reihe konvergiert. Du hast hier sogar nur die Konvergenz gegen Eins von diesem Bruch. Die Reihe alleine über diese Brüche muss dann sogar divergieren, weil diese keine Nullfolge sind. Aber es kommt ja noch das $\begin{eqnarray} \left(-\frac{1}{2}^k\right) \end{eqnarray}$ dazu. Du könntest einfach mal den Bruch rechts durch eine Konstante nach oben abschätzen und dann mal das Majorantenkriterium anwenden.
15.12.2008, 01:48	wahini	Auf diesen Beitrag antworten »
mit $\begin{eqnarray} a_k \end{eqnarray}$ meinte ich den bruch rechts. ehrlich gesagt weiß ich nicht was du genau meinst mit der konstante? Aber kann man hier nicht das leibniz kriterium anwenden? Oder muss da so ein Ausdruck stehen für das leibniz kriterium: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty~ (-1)^{k-1}a_k \end{eqnarray*}$
15.12.2008, 15:32	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, wenn du dir das Polynom anschaust, kannst du bestimmt eine konstante Zahl finden, die immer größer ist als das Polynom. Immerhin ist es 3k² + irgendetwas durch 10k² + irgendetwas, da ist es ja klar, dass es nicht gegen unendlich strebt, wenn k gegen unendlich geht. Sobald du die rechte Seite mit einer Konstanten abgeschätzt hast, dann ist es klar, dass es konvergiert.

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