Untergruppe, Inklusionen

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15.12.2008, 10:42

lilithilli1210

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Untergruppe, Inklusionen

Hallo

mein Problem Augenzwinkern

Es sei G eine Gruppe mit Untergruppen $\begin{eqnarray*} H1,H2 \subseteq G \end{eqnarray*}$
Zeigen Sie, daß $\begin{eqnarray*} H1\cup H2 \end{eqnarray*}$ genau dann eine Untergruppe von G ist, wenn $\begin{eqnarray*} H1 \subseteq H2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} H2 \subseteq H1. \end{eqnarray*}$ gilt.

Wie gehe ich da ran? Wie zeige ich eine Inklusion? und was genau bedeutet dieses Inklusionszeichen mit dem Strich drunter? Dass es auch die gleiche Menge sein kann?

LG Lili

15.12.2008, 10:57

kiste

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Hallo

,

Das Inklusionszeichen mit Strich drunter heißt in der Tat dass die Mengen auch gleich sein können.

Die eine Richtung falls die Teilmengenrelation gilt ist ja einfach.

Für die andere Richtung nehme an es gilt weder $\begin{eqnarray*} H_1\subseteq H_2 \end{eqnarray*}$ noch $\begin{eqnarray*} H_2\subseteq H_1 \end{eqnarray*}$ . Sei dann $\begin{eqnarray*} x\in H_1\setminus H_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y\in H_2\setminus H_1 \end{eqnarray*}$ . Betrachte das Produkt $\begin{eqnarray*} xy\in H_1\cup H_2 \end{eqnarray*}$

15.12.2008, 11:44

lilithilli1210

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Ok danke schonma, ich probiere es mal aus.

Noch eine Frage: Was ist eine Teilmengenrelation?
Was ist die "eine " Richtung...?

achso und was genau genau bedeutet $\begin{eqnarray*} x \in H1\setminus H2 \end{eqnarray*}$
Dass x aus beiden Mengen ist wohl eher nicht. Heißt es dass x nur aus H1 ist und nicht aus H2?

LG Lili

15.12.2008, 14:22

kiste

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Teilmengenrelation = Das Symbol $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ .

"Heißt es dass x nur aus H1 ist und nicht aus H2?" Ja.

Die "eine" Richtung ist wenn $\begin{eqnarray*} H_1\subseteq H_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} H_2\subseteq H_1 \end{eqnarray*}$ gilt. Was ist in diesem Fall denn $\begin{eqnarray*} H_1\cup H_2 \end{eqnarray*}$ ?

15.12.2008, 17:27

lilithilli1210

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also entweder dürfte dann $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ sein oder halt umgekehrt.
meintest du das?

15.12.2008, 17:59

kiste

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Eigentlich Teilmenge, aber das ist hier dann äquivalent

15.12.2008, 18:13

lilithilli1210

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aber was sagt mir das denn im bezug zu G aus? Dass es dann Untergruppen von G sind??
Das verstehe ich irgendwie nicht...
Das die beiden Teilmengen bzw. Untergruppen von einander sind ist mir klar, aber nicht wa das dann mit G zu tun hat... verwirrt

15.12.2008, 18:33

kiste

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Mach dir das Leben doch nicht so schwer.

Nehmen wir an es sei $\begin{eqnarray*} H_1 \subseteq H_2 \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} H_1\cup H_2 \end{eqnarray*}$ ? Ist das dann eine Untergruppe?!

15.12.2008, 18:59

lilithilli1210

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Tut mir leid, aber das hat gar nix mit schwer machen zu tun...
ich verstehe es halt nicht, was das mit G zu tun hat...
Klar ist H2 eine Untergruppe von H1 wenn $\begin{eqnarray*} H_1 \subseteq H_2 \end{eqnarray*}$ gilt.
aber woran soll ich sehen dass es dann eine von G ist?

für die "andere" Richtung habe ich jetzt:

wenn $\begin{eqnarray*} x \in H_1 \setminus H_2, y\in H_2 \setminus H_1 \end{eqnarray*}$

Das Produkt dürfte dann weder in H1 noch in H2 liegen, oder?

Auch hier sehe ich leider wieder nicht den Zusammenhang zu G...

verwirrt

oder ist der Zusammenhang nicht wichtig? geht es nur darum zu zeigen dass diese beiden Untergruppen Inklusionen sien müssen??

15.12.2008, 19:12

kiste

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Es ist eine Untergruppe von G nach Definition! Schau doch einmal in die Aufgabenstellung.

Und wenn $\begin{eqnarray*} H_2 \subseteq H_1 \end{eqnarray*}$ dann ist H1 eine Untergruppe von H2 nicht andersrum!

Zur anderen Richtung:
Das Produkt sollst du ja gerade untersuchen. Wenn $\begin{eqnarray*} H_1\cup H_2 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe ist, so ist wegen der Abgeschlossenheit eben $\begin{eqnarray*} xy\in H_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} xy\in H_2 \end{eqnarray*}$ . Multipliziere jetzt geeignet mit einem Inversen so dass du zu einem Widerspruch zur Definition von x bzw. y kommst.

edit: Noch zum Zusammenhang zu G: Es gibt keinen bis auf die Tatsache dass eben die Mengen die wir betrachten Untergruppen davon sind bzw. sein sollen

15.12.2008, 20:59

lilithilli1210

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Zitat:

Original von kiste

Und wenn $\begin{eqnarray*} H_2 \subseteq H_1 \end{eqnarray*}$ dann ist H1 eine Untergruppe von H2 nicht andersrum!

Das habe ich doch gesagt nur eben andersrum weil bei mir auch die Inklusion andersrum war... verwirrt

Oder war das nur noch für den anderen fall, also das meins auch richtig war...?

LG

15.12.2008, 21:20

kiste

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wah jetzt mach ich es sogar schon falsch Big Laugh

Wenn $\begin{eqnarray*} H_2\subseteq H_1 \end{eqnarray*}$ dann ist H2 Untergruppe von H1

15.12.2008, 21:35

lilithilli1210

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ok =)

dann danke noch mal für die berichtigung, hätte das jetzt andersherum gemacht.

DANKE Gott

Gaaanzliebe Grüße Lili

17.12.2008, 18:08

lilithilli1210

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So habe mir das jetzt mal mit Bildern deutlich gemacht.

und dann wäre es ja so dass wenn H1 ne Untergruppe von H2 ist, dann ist die vereinigte Menge von H1 und H2 ja gleich H1 oder? also wäre gezeigt dass diese vereinigte Menge ne Untergruppe von G is weil ja H1 es is.

umgekehrt halt genauso wenn H2 ne Untergrzuppe von H1 is.

Nur die gegen richtung, wenn sie nich untergruppen sind bekomm ich einfach nich hin.
also wenn ich ein x aus H1 nehme was nich in H2 liegt und ein y aus H2 das nich in H1 liegt. Woher weiß ich dann wo das x*y liegt?
Könnte das nich auch in der vereinigten Menge liegen und wenn nein warum nich...

LG Lili

18.12.2008, 09:15

kiste

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Naja wir nehmen doch an das die Vereiningung ne Untergruppe sein soll. Deswegen muss dann auch xy drinliegen. Wenn es in $\begin{eqnarray*} H_1\cup H_2 \end{eqnarray*}$ drinliegt, dann liegt es nach Definition in mind. einer der Untergruppen.
Sagen wir einmal $\begin{eqnarray*} xy\in H_1 \end{eqnarray*}$ . Was passiert jetzt wenn du mit x^-1 multiplizierst?!

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