Komplement eines kartesischen Produkts

15.12.2008, 14:21

s_raesch

Komplement eines kartesischen Produkts

Gegeben seien Familien $\begin{eqnarray*} (X_i)_{i \in I}, (A_i)_{i \in I} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} I \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ so das gilt
$\begin{eqnarray*} \prod_{i \in I} A_i \subset \prod_{i \in I} X_i \end{eqnarray*}$ .
Sei weiter definier: $\begin{eqnarray*} S:=\{A \subset I : A \neq \emptyset \} \end{eqnarray*}$
Die Frage ist nun, ob die folgende Aussage gilt:
$\begin{eqnarray*} (\prod_{i \in I} X_i) \setminus (\prod_{i \in I} A_i) = \bigcup_{J \in S} ( [ \prod_{j \in J}(X_j \setminus A_j) ] \times [ \prod_{i \in I \setminus J}A_i ]) \end{eqnarray*}$

Wurde die bei mir als falsch bewertet verwirrt

Also ich bin der Meinung das müsste richtig sein smile

15.12.2008, 14:47

papahuhn

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RE: Komplement eines kartesischen Produkts
Ich denke, es stimmt nicht, weil die rechte Seite der Gleichung eine Menge von Zweitupeln ist,
während die linke Seite eine Menge von "|I|-stelligen" Tupeln ist.

Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob der Aufgabensteller das gemeint hat.
Z.B. ist $\begin{eqnarray*} A \times (B\times C) \neq (A \times B) \times C \end{eqnarray*}$ , aber irgendwie "fast" gleich.

15.12.2008, 15:22

JustPassingBy

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Naja, ich vermute das "gleich" auch "isomorph" bedeuted.
Das ist ja bei Operationen auf Mengen immer so (Tensor ist z.B. assoziativ, d.h. dort wird gleich mit isomorph gesetzt).

Die Aussage ist richtig.
Wenn man sich die Laufvariable J genauer betrachtet, merkt man das I\J immer die leere Menge sein muss.

15.12.2008, 15:32

papahuhn

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Zitat:

Original von JustPassingBy
Die Aussage ist richtig.
Wenn man sich die Laufvariable J genauer betrachtet, merkt man das I\J immer die leere Menge sein muss.

Warum, es gilt $\begin{eqnarray*} J \subseteq I \end{eqnarray*}$ , also ist das sehr selten die leere Menge. Wenn man Isomorphie zulässt, ist die linke Seite Teilmenge der Rechten. Ich vermute, die Teilmengenbeziehung ist echt; ein Gegenbeispiel müsste ich noch finden.

15.12.2008, 20:56

JustPassingBy

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Mein Fehler, ich hab J\I gelesen...

In dem Fall ist die Aussage natürlich falsch, sofern nicht alle A leer sind.

Male einfach mal den Fall, wo das Produkt nur über 2 Mengen geht, d.h. I nur 2 Elemente hat.
Dann wirst du sehr schnell Elemente finden, die in der einen Seite enthalten sind, in der anderen Seite aber nicht.

15.12.2008, 21:15

s_raesch

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Hey also das Beispiel für $\begin{eqnarray*} I := \{1,2\} \end{eqnarray*}$ wäre;
$\begin{eqnarray*} S=\{\{1\},\{2\},\{1,2\}\} \end{eqnarray*}$
und somit
$\begin{eqnarray*} (X_1 \times X_2) \setminus (A_1 \times A_2) = [ (X_1 \setminus A_1) \times X_2 ] \cup [ X_1 \times (X_2 \setminus A_2) ] \cup [ (X_1 \setminus A_1) \times (X_2 \setminus A_2) ] \end{eqnarray*}$
Dies scheint ja jedenfalls noch Sinnvoll zu sein. Was vllt. noch ganz wichtig zu erwähnen wäre, dass die Reihenfolge in einem kartesischen Produkt welches durch eine Indexmenge I definiert ist auch durch I gegeben ist. Somit gilt z.B.:
$\begin{eqnarray*} [\prod_{i \in I} A_i ] \times [\prod_{i \in I \setminus J} B_i ] = [\prod_{i \in I \setminus J} B_i ] \times [\prod_{i \in I} A_i ] \end{eqnarray*}$
Diese Notation kann gerne in Frage gestellt werden, sie kommt von meinen Professor und ich finde sie auch net so toll. Big Laugh

15.12.2008, 21:25

JustPassingBy

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Hm? Das ist absolut nicht sinnvoll.

Skizzier einfach mal den Fall, dass die X die reelle Zahlen sind und die A irgendwelche Intervalle.
Dann müsstest du es sehen.

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