Basen, Koordinatensysteme

15.12.2008, 14:54

Janine20

Basen, Koordinatensysteme

Hallo, habe ein Problem mit einer Aufgabe:

Meni Prof. sagt, dass diese Art von Aufgaben ganz einfach sind, mit sogenannten Kochrezepten zu bewältigen und für jeden machbar.

Nun ich glaub ihm das, aber ich tu mich noch schwer mit den Aufgaben.

Die Aufgabe lautet wie folgt:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung mit

$\begin{eqnarray*} f\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3x+3y \\ 2x-y \\ -5x+3y \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Bestimme $\begin{eqnarray*} M_{\phi,\psi}(f) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{\phi',\psi'}(f) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \phi=(e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray*}$ (d.h. die kanonischen Basen) beziehungsweise $\begin{eqnarray*} \phi'=\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\right) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi'=\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0\\ 0 \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right) \end{eqnarray*}$

Nun ich weißt jetzt nicht was ich machen soll um ans Ziel zu gelangen:
Ich habe versucht zunächst die Transformationsmatrix T von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \phi' \end{eqnarray*}$ und Transformationsmatrix S von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \psi' \end{eqnarray*}$ zu bestimmen.
Dabei kriege ich heraus:

$\begin{eqnarray*} T=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} S=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich mir gedacht ich kann folgende Formel anwenden:
$\begin{eqnarray*} \psi^{-1}\cdot f \cdot \phi=M_{\phi,\psi} \end{eqnarray*}$ , aber das klappt irgendwie nicht.

Was mache ich falsch?

Danke

15.12.2008, 14:56

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen, Koordinatensysteme
[Artikel] Basiswechsel

Da sollte ein Rezept drinnen stehen.

15.12.2008, 15:05

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen, Koordinatensysteme
Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \mapsto \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ die lineare Abbildung mit

$\begin{eqnarray*} f\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3x+3y \\ 2x-y \\ -5x+3y \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun erstmal die Basen, die wir haben. Da schreibst du unsauber. Ich vermute du meinst:

$\begin{eqnarray*} B_1(V)=\{\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_2(V)=\{\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_1(W)=\{\begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_2(W)=\{\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

15.12.2008, 17:25

Janine20

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen, Koordinatensysteme
Ich muss noch ergänzen beziehungsweise korrigieren.

Es ist: $\begin{eqnarray*} \phi=(e_1,e_2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi=(e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray*}$

Tigerbine, ich kann irgendwie mit dem Workshop nicht viel anfangen.

Ist mein Schritt denn nicht richtig?
Ich hab zunächst die Transformationsmatrix T von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \phi' \end{eqnarray*}$ berechnet.

Und das wie folgt:

$\begin{eqnarray*} \phi'^{-1}\cdot \phi=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Das gleiche habe ich für die Transformationsmatrix S von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \psi' \end{eqnarray*}$ gemacht.

$\begin{eqnarray*} S=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

Nur jetzt wüsste ich gerne weiter.

Ist jetzt: $\begin{eqnarray*} S^{-1}=M_{\phi, \psi}(f) \end{eqnarray*}$ ?

15.12.2008, 17:27

Janine20

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen, Koordinatensysteme
Hab S falsch berechnet:

$\begin{eqnarray*} S=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$

15.12.2008, 17:34

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen, Koordinatensysteme
In dem WS steht eigentlich schon, wie es geht.

Also lag ich mit meinen Vermutungen richtig. 2x Standardbasis 2x was anderes. Ich wiederhole.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} B_1(V)=\{\begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_2(V)=\{\begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1\\ 2 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_1(W)=\{\begin{pmatrix} 1\\0 \\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 1\\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_2(W)=\{\begin{pmatrix} 1\\ 0\\0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\ 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\ 1 \end{pmatrix} \} \end{eqnarray*}$

Nun muss man B2 durch B1 ausdrücken. Das ist hier einfach, weil B1 die Standardbasis ist und wir es somit direkt ablesen können. Bzgl. Der B1(V), B1(W) können wir die lineare Abbildung

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 3x+3y \\ 2x-y \\ -5x+3y \end{bmatrix} \end{eqnarray*}$ .

mit der Matrix M angeben:

$\begin{eqnarray*} M_{B1}^{B1} = \begin{pmatrix} 3&3 \\ 2&-1 \\ -5&3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

code:

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
11:
12:
13:
14:
15:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
25:
26:
27:
28:
29:
30:
31:
32:
33:
34:
35:
36:
37:
38:
39:
40:
41:
42:
43:
44:
45:
46:

Für eine lin. Abb. F: V->W werden Basiswechsel berechnet
 
Lin. Abb. zwischen V->W eingeben
 
             M1            
     B1 ----------> B1     
     /\             /\     
     |               |     
V    S               T    W
     |               |     
     |               |     
     B2 ----------> B2     
             M2            
 
Dimension von V: n= 2
Dimension von W: m= 3
 
Koordinaten der Basis 2 von V bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,1]
Vektor 2: [1,2]
 
Koordinaten der Basis 2 von W bzgl. der Basis 1 eingeben: 
Vektor 1: [1,0,0]
Vektor 2: [0,1,1]
Vektor 3: [0,0,1]
 
M bzgl. Basis 1 oder Basis 2? 1
 
M = [3,3;2,-1;-5,3]
 
y=(TI*M1*S)x=M2x
S =
     1     1
     1     2
M1 =
     3     3
     2    -1
    -5     3
TI =
     1     0     0
     0     1     0
     0    -1     1
M2 =
     6     9
     1     0
    -3     1

Bedeutung von T und S sind der Skizze zu entnehmen.

15.12.2008, 18:40

Janine20

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen, Koordinatensysteme
Also ist das M2 sozusagen mein: $\begin{eqnarray*} M_{\phi,\psi} \end{eqnarray*}$ ?

Nun ich habe dann für $\begin{eqnarray*} M_{\phi',\psi'}=\begin{pmatrix} 3 & 0 \\ 5 & -3 \\ -8 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

15.12.2008, 18:49

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basen, Koordinatensysteme
Es steht doch alles da. unglücklich