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02.09.2006, 16:02

fiep

Hallo,

es seien X, Y ZVen. Wie kann ich zeigen, dass max(X,Y) eine ZV ist?

02.09.2006, 16:03

Egal

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D. würd i. d. gerne e. wenn ich d. P.verstehen w.

02.09.2006, 22:53

fiep

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RE: Zv
??

02.09.2006, 23:02

pseudo-nym

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rofl, ich glaube egal möchte das du dein Problem mehr ausformulierst

02.09.2006, 23:03

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@Egal

ZV soll vermutlich Zufallsvariable heißen... Augenzwinkern

@fiep

Um das beantworten zu können, muss ich erstmal wissen, auf welchem Niveau du Stochastik betreibst, konkret: Mit oder ohne Maßtheorie-Unterbau?

Falls es mit Maßtheorie ist, dann ist das eigentlich nur eine Messbarkeits-Frage.

Falls es ohne Maßtheorie ist (z.B. Schule), dann verstehe ich eigentlich nicht, was der Lehrer mit dieser Frage bezweckt... verwirrt

03.09.2006, 00:07

fiep

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Hi Arthur,

ein bisschen Maßtheorie darfs schon sein...

03.09.2006, 08:59

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Ok, also mit Maßtheorie. Freude

Da "Zufallsgröße" nur eine andere Bezeichnung für eine messbare Funktion $\begin{eqnarray*} X:\;\Omega\to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ auf einem W-Raum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathfrak{F},P) \end{eqnarray*}$ ist, geht es hier nur um den Nachweis der Messbarkeit der Funktion

$\begin{eqnarray*} Z(\omega) = \max\{ X(\omega), Y(\omega) \} \end{eqnarray*}$ ,

wenn die Messbarkeit der Ausgangsfunktionen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ gegeben ist. Welche Schwierigkeiten hast du denn bei diesem Nachweis?

03.09.2006, 13:04

fiep

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Hi Arthur,

also ich weiss, dass X und Y ZVn sind und daher messbar. Dein Ansatz war bzw. ist mir auch klar, aber ich weiss nun nicht, wie ich das ganze jetzt mathematisch präzise darstelle...

03.09.2006, 15:49

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Habt ihr denn nie so einen Messbarkeitsbeweis geführt? Eigentlich ist das nur Einsetzen:

Wir haben also messbare Abbildungen $\begin{eqnarray*} X: (\Omega,\mathfrak{F})\to (\mathbb{R},\mathfrak{B}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y: (\Omega,\mathfrak{F})\to (\mathbb{R},\mathfrak{B}) \end{eqnarray*}$ vorliegen. Messbarkeit der Abbildung $\begin{eqnarray*} Z: (\Omega,\mathfrak{F})\to (\mathbb{R},\mathfrak{B}) \end{eqnarray*}$ bedeutet jetzt laut Definition, dass für jede Bildmenge $\begin{eqnarray*} B\in\mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ das Urbild in der Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F} \end{eqnarray*}$ liegen muss, d.h., $\begin{eqnarray*} Z^{-1}(B)\in\mathfrak{F} \end{eqnarray*}$ .

Zum Glück genügt es, das nur für System von Mengen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, welches die Borel-Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ erzeugt. Das sind z.B. die Intervalle $\begin{eqnarray*} B=(-\infty,x] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Und da rechnet man

$\begin{eqnarray*} Z^{-1}(B) = Z^{-1}((-\infty,x]) = \{ \omega:\; Z(\omega)\leq x \} = [Z\leq x] \end{eqnarray*}$ ,

letzteres ist eine dir hoffentlich vertraute Kurzschreibweise für solche durch Zufallszahlen erzeugte Ereignisse. Weiter geht's

$\begin{eqnarray*} [Z\leq x] = [\max(X,Y)\leq x] = [X\leq x \;\wedge\; Y\leq x] = [X\leq x] \cap [Y\leq x] . \end{eqnarray*}$

Warum diese Menge rechts jetzt in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F} \end{eqnarray*}$ liegt, solltest du dir aber selbst überlegen.

03.09.2006, 16:38

fiep

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Hallo, vielen Dank erstmal für deine Hilfe Arthur.

Zitat:

Original von Arthur Dent

$\begin{eqnarray*} [Z\leq x] = [\max(X,Y)\leq x] = [X\leq x \;\wedge\; Y\leq x] = [X\leq x] \cap [Y\leq x] . \end{eqnarray*}$

Warum diese Menge rechts jetzt in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{F} \end{eqnarray*}$ liegt, solltest du dir aber selbst überlegen.

Hat dies etwas mit durchschnittsstabil zu tun?

03.09.2006, 16:42

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Das sollte eine Sigma-Algebra schon sein, ja. Augenzwinkern

03.09.2006, 16:46

fiep

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Reicht dies als Argument, oder muss man weitere Argumente anbringen?

03.09.2006, 16:51

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Die Ausführung, besser gesagt Ausführlichkeit, hängt entscheidend davon ab, was ihr bisher dazu gemacht habt und benutzen dürft - darüber habe ich keine Kenntnis und daher kann ich dir diese letzte Frage nicht beantworten.

03.09.2006, 17:15

fiep

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Naja, Messbarkeit, char. Fkt, erz. Fkt, etc

03.09.2006, 17:26

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Na das ist mal klar - es geht um Details. Augenzwinkern

03.09.2006, 17:39

fiep

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was sollte ich denn wissen?

03.09.2006, 17:49

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Na, alles was du zum Beweis brauchst, z.B. das hier

Zitat:

Original von Arthur Dent
Zum Glück genügt es, das nur für System von Mengen $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ nachzuweisen, welches die Borel-Sigma-Algebra $\begin{eqnarray*} \mathfrak{B} \end{eqnarray*}$ erzeugt. Das sind z.B. die Intervalle $\begin{eqnarray*} B=(-\infty,x] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ .

Man will ja nicht jedesmal beim Urschleim anfangen.

Gerade Maßtheorievorlesungen sind meines Wissens dem Aufbau nach ein schönes Gebäude von Abhängigkeiten. Aber jeder Prof ist in Details ein anderer "Architekt"...
Jetzt eine Aussage herausreißen und fragen "reicht das als Beweis", ist für einen bezogen auf deine Vorlesung Außenstehenden wie mich schlicht nicht beantwortbar. Das musst du jetzt mal selbständig prüfen.

Ich hoffe, es kommen jetzt keine Nachfragen mehr in dieser Richtung!

03.09.2006, 22:55

WebFritzi

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@fiep: Was du zum Beweis noch brauchst, ist die (endliche) Durchschnittsstabilität (tolles Wort Augenzwinkern

) einer Sigma-Algebra. Die Definition einer Sigma-Algebra entnimmst du bitte deinem Skript. Also, zu zeigen ist: Aus $\begin{eqnarray*} A,B\in\mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} A\cap B\in\mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ hier die entsprechende Sigma-Algebra bezeichne. Nun gilt $\begin{eqnarray*} A\cap B = (A^c\cup B^c)^c \end{eqnarray*}$ . Und diese Menge ist laut Definition einer Sigma-Algebra in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{A} \end{eqnarray*}$ enthalten.

04.09.2006, 23:46

fiep

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Ja, das mein ich doch. Freude

Vielen Dank an alle Helfer Wink

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