Umkehrbar?

15.12.2008, 16:16

Gizm0

Umkehrbar?

Hallo zusammen!

Ich habe eine Funktion: $\begin{eqnarray*} f := x \rightarrow \frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

Aufgrund des Graphen denke ich, dass die Funktion nicht umkehrbar ist. Leider gelingt es mir nicht, dies Mathematisch zu belegen.

15.12.2008, 16:36

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Das kommt immer drauf an, was du als Definitions- und Wertebereich dieser Funktion ansiehst. Als Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}\setminus\{-1\} \to \mathbb{R}\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ betrachtet (sozusagen mit "maximalen" Bereichen) ist diese Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

sehr wohl umkehrbar. Augenzwinkern

15.12.2008, 16:44

Gizm0

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Danke für die schnelle Antwort!

Kann dir hier nicht ganz folgen: $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$

Vermutlich kenne ich eine andere Notation für Definitions- und Wertebereich. Welche Einschränkungen hast du gemacht?

Mir ging es darum, die Funktion zu betrachten, ohne weitere Einschränkungen zu machen, deshalb habe ich keine notiert. $\begin{eqnarray*} x \neq -1 \end{eqnarray*}$ sollte klar sein.

15.12.2008, 16:48

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Zitat:

Original von Gizm0
$\begin{eqnarray*} x \neq -1 \end{eqnarray*}$ sollte klar sein.

Das mag klar sein, aber da haben wir schon eine Einschränkung. Und nichts weiter bedeutet die Mengendifferenz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}\setminus\{-1\} \end{eqnarray*}$ :

Die Menge der reellen Zahlen mit Ausnahme der -1.

Was die Gleichheit $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ betrifft: Einfach mal nachrechnen, das kann man mit Mittelstufenkenntnissen!

15.12.2008, 17:07

Gizm0

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Ich habe nun nochmals gegrübelt, entweder ich habe gerade einen Blackout, oder die Mittelstufenkenntnisse fehlen mir...
Kannst du mir auf die Sprünge helfen?

$\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{R}\setminus\{-1\} \to \mathbb{R}\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ weswegen hier $\begin{eqnarray*} \to \mathbb{R}\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ ?

Die Ursprungsfrage bleibt: Wieso ist die Funktion nicht umkehrbar (ohne neue Restriktionen einzuführen)?

Es gelingt mir nicht $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{x_1+1}=\frac{x_2}{x_2+1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ zu lösen.

Auch eine Umkehrfunktion kann ich nicht bilden. Ich habe versucht, die Funktion nach x aufzulösen, erfolglos.

Mein Ziel ist es, $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{x_1+1}=\frac{x_2}{x_2+1} \end{eqnarray*}$ in die Form $\begin{eqnarray*} x_1 = ... \end{eqnarray*}$ zu bringen um zu belegen, dass die Funktion nicht umkehrbar ist.

15.12.2008, 17:26

Jacques

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Hallo,

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element einer Menge A (Definitionsmenge) genau ein Element einer Menge B (Zielmenge) zuordnet. Zu einer Funktion gehören also immer eine Definitions- und eine Zielmenge. Die Zielmenge wird häufig nicht genannt, weil sie i. A. keine Rolle spielt -- beim Untersuchen der Umkehrbarkeit muss man sie aber kennen. Wenn sie nicht angegeben ist, geht man davon aus, dass man die Wertemenge (Menge aller Funktionswerte) als Zielmenge nimmt.

Und es gilt hier eben

$\begin{eqnarray*} W_f = \mathbb{R} \setminus \{1\} \end{eqnarray*}$

Das hat nichts mit Einschränkungen zu tun, sondern man ergänzt einfach die fehlenden Angaben. Oder welche Ziemenge wolltest Du nehmen? Ganz R? Dann wäre die Funktion nicht mehr surjektiv, denn die +1 wird niemals als Funktionswert angenommen.

Zitat:

Original von Gizm0

Es gelingt mir nicht $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{x_1+1}=\frac{x_2}{x_2+1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$ zu lösen.

[...]

Mein Ziel ist es, $\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{x_1+1}=\frac{x_2}{x_2+1} \end{eqnarray*}$ in die Form $\begin{eqnarray*} x_1 = ... \end{eqnarray*}$ zu bringen um zu belegen, dass die Funktion nicht umkehrbar ist

Was denn nun? Augenzwinkern

Also wie Arthur Dent schon gesagt hat: Wenn Du die Zielmenge wie oben festlegst, dann ist die Funktion sehr wohl umkehrbar. Denn das einzige „Hindernis“ könnte die Surjektivität sein, injektiv ist die Funktion in jedem Fall.

15.12.2008, 17:46

Gizm0

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Der Funktionswert wird also nie 1 sein? Stimmt wohl... Wie findet man sowas heraus?

injektiv: Es lässt sich also jedem Funktionswert ein Parameter zuordnen? Das ist, was ich unter umkehrbar verstehe, scheint aber nicht gegeben zu sein.

surjektiv: Jeder Wert der Zielmenge kommt also Funktionswert vor? Ist dies für die Umkehrbarkeit relevant?

Wenn ich die Funktion in Maple plotten lasse, hat sie zwei Knicke (K.A. wie das Mathematisch heisst), kann also nicht umkehrbar sein...

Kann mir bitte jemand beim Ursprungsproblem helfen: Wie lässt sich die Funktion schrittweise auflösen, damit ersichtlich ist, ob sie umkehrbar ist oder nicht?

15.12.2008, 18:32

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Zitat:

Original von Gizm0
Der Funktionswert wird also nie 1 sein? Stimmt wohl... Wie findet man sowas heraus?

Die Darstellung $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ war von mir dazu gedacht, dir in dieser Hinsicht auf die Sprünge zu helfen - war wohl nix.

Das Reziproke kann niemals Null werden, die Differenz damit niemals Eins.

Zitat:

Original von Gizm0
Wenn ich die Funktion in Maple plotten lasse, hat sie zwei Knicke (K.A. wie das Mathematisch heisst), kann also nicht umkehrbar sein...

Unfug: Wenn da Knicke gezeigt werden, dann liegt das an der Unzulänglichkeit von Maple, was wohl Funktionswerte links und rechts der Polstelle -1 frech durch eine Strecke verbunden hat. Geplotteten Graphen an solchen heiklen Positionen wie Polstellen darf man nie trauen. unglücklich

Der Gnuplotter macht's besser:

15.12.2008, 19:08

Jacques

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Zitat:

Original von Gizm0

injektiv: Es lässt sich also jedem Funktionswert ein Parameter zuordnen? Das ist, was ich unter umkehrbar verstehe, scheint aber nicht gegeben zu sein.

Doch! Wie schon mehrfach gesagt:

Zitat:

Original von Jacques

injektiv ist die Funktion in jedem Fall.

Glaube es uns doch mal. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Gizm0

surjektiv: Jeder Wert der Zielmenge kommt also Funktionswert vor? Ist dies für die Umkehrbarkeit relevant?

Ja, natürlich! Eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn sie bijektiv, also injektiv und surjektiv ist.

Zitat:

Original von Gizm0

Kann mir bitte jemand beim Ursprungsproblem helfen: Wie lässt sich die Funktion schrittweise auflösen, damit ersichtlich ist, ob sie umkehrbar ist oder nicht?

Wir sind doch gerade dabei, Dir zu helfen, oder?

Also nochmal: Die Funktion ist injektiv. Sie muss also nur noch surjektiv sein. Ob sie das ist, hängt von der Zielmenge ab, die bei der Aufgabe anscheinend nicht angegeben ist -- fehlt die Angabe der Zielmenge, dann nimmt man einfach die Wertemenge als Zielmenge, d. h., die Funktion ist automatisch surjektiv.

Die Funktion ist umkehrbar!

15.12.2008, 20:05

Gizm0

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Zitat:

Original von Jacques
Glaube es uns doch mal. Augenzwinkern

Jetzt glaube ich es. Zuvor habe ich keine Begründung bekommen, wieso die Funktion umkehrbar sein sollte, zumindest keine die ich verstand. Das Maple hier unpräzis konnte ich nicht ahnen.

Ich kenne die Definition f ist umkehrbar wenn aus $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$ . Das beinhaltet doch nur Injektivität?

Auch wenn es Mittelstufenstoff ist, ich weiss noch immer nicht wie man von $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ kommt. Habe auch gerade andere Studenten in der WG gefragt, die wussten es auch nicht.

Ob die Funktion nun umkehrbar ist oder nicht ist nicht wichtig, mir geht es nicht um das Resultat, sondern um den Weg. Ich will beim nächsten Mal nicht mehr fragen müssen.

15.12.2008, 20:25

Jacques

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Zitat:

Original von Gizm0

Ich kenne die Definition f ist umkehrbar wenn aus $\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(x_1) \neq f(x_2) \end{eqnarray*}$ . Das beinhaltet doch nur Injektivität?

Ja, genau, das ist die Definition der Injektivität. Die vorher erwähnte Forderung

$\begin{eqnarray*} f(x_1) = f(x_2) \ \Rightarrow\ x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$

ist dazu gleichwertig.

Zitat:

Original von Gizm0

Auch wenn es Mittelstufenstoff ist, ich weiss noch immer nicht wie man von $\begin{eqnarray*} 1-\frac{1}{x+1} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$ kommt. Habe auch gerade andere Studenten in der WG gefragt, die wussten es auch nicht.

Es gilt

$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x + 1} = \frac{ x \overbrace{(+1 - 1)}^{=0}}{x + 1} = \frac{(x + 1) - 1}{x + 1} = 1 - \frac{1}{x + 1} \end{eqnarray*}$

// edit: Beim umgekehrten Weg erweitert man einfach: 1 = (x + 1)/(x + 1)

Zitat:

Original von Gizm0

Ob die Funktion nun umkehrbar ist oder nicht ist nicht wichtig, mir geht es nicht um das Resultat, sondern um den Weg. Ich will beim nächsten Mal nicht mehr fragen müssen.

Das einzige Problem ist doch jetzt nur noch das Beweisen von f(x1) = f(x2) => x1 = x1 für alle x1, x2 aus der Definitionsmenge, oder?

15.12.2008, 23:16

Gizm0

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Vielen Dank!
Jetzt ist es einiges klarer.

Zitat:

Original von JacquesDas einzige Problem ist doch jetzt nur noch das Beweisen von f(x1) = f(x2) => x1 = x1 für alle x1, x2 aus der Definitionsmenge, oder?

Genau.

15.12.2008, 23:31

Jacques

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OK. Diese Umformung ist eigentlich nicht so schwierig:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_1}{x_1 + 1} = \frac{x_2}{x_2 + 1} \ \Rightarrow\ x_1(x_2 + 1) = x_2(x_1 + 1) \end{eqnarray*}$

Weiter kommst Du selbst, oder?

16.12.2008, 08:46

Gizm0

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Ich habe daraus folgendes gemacht:
$\begin{eqnarray*} x_1x_2+x_1=x_2x_1+x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=x_2 \end{eqnarray*}$

Stimmts?

16.12.2008, 16:37

Jacques

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Ja, das ist richtig. Freude

17.12.2008, 00:03

NoMind

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Damit es vollständig ist:
$\begin{eqnarray*} {1-\frac{1}{x+1}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{x+1}{x+1}+\frac{-1}{x+1} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x+1} \end{eqnarray*}$

Ausserdem:
$\begin{eqnarray*} f(x) = 1- \frac{1}{x+1} \Rightarrow f(x)-1=- \frac{1}{x+1} \Rightarrow (f(x)-1)(x+1)=-1 \Rightarrow f(x)x-x+f(x)-1 = -1 \Rightarrow (f(x)-1)x+f(x)=0 \Rightarrow x = -\frac{f(x)}{f(x)-1}\Rightarrow f^{-1}(x) = -\frac{x}{x-1} \end{eqnarray*}$

(Das sollen Äquivalentzpfeile sein,aber dafür kenne ich den code nicht)

17.12.2008, 09:20

Gizm0

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Vielen Dank für die kompetente Hilfe!

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