Integralrechnung Fläche bestimmen

15.12.2008, 18:47

tim taler

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Integralrechnung Fläche bestimmen

Hallo zusammen,

ich möchte die Fläche zwischen einer Funktion
$\begin{eqnarray*} y(x)= 2(sin(x))^2 -0.5 \end{eqnarray*}$ und der x-Achse, auf dem Intervall
$\begin{eqnarray*} [0;2\pi] \end{eqnarray*}$ ermitteln.
Hab mir die Funktion mit Hilfe eines Programms anzeigen lassen, aber ich wollte sie auch von Hand zeichnen was allerdings nicht funktioniert.
ich komme dabei auf folgende Werte:
f(0)= -0.5
f(1)= -0.4993
f(2)= -0,4975
f(3)= -0.4945

der erste Wert f(0)= 0.5 stimmt mit meiner Zeichnung überein, die anderen Werte nicht. Mache ich was falsch?

Gruss, tt

15.12.2008, 19:22

riwe

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RE: Integralrechnung Fläche bestimmen
auch der 1. wert stimmt nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

16.12.2008, 10:07

tim taler

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RE: Integralrechnung Fläche bestimmen
Guten Morgen Werner,

da kam zur Unwissenheit noch mangelnde Konzentration Augenzwinkern

Augenzwinkern

der erste Wert wurde von mir oben verbessert.
Ich hab auch f(0)=-0.5...

Wenn ich die Datei mit goegebra zeichne, bekomme ich die gleiche Skizze wie du.
Allerdings kann ich das Programm in der Klausur nicht verwenden. Also muss ich mir die Funktion selbst zeichnen um zu sehen welche Flächen über bzw. unter der x-Achse liegen.

Hast Du eine Idee warum ich auf diese utopischen Werte komme?
Wie gibts du die Gleichung in den Rechner ein?

Die nächsten Schritte sind mir dann bekannt aber es ist wichtig zu wissen was ich bei der Zeichnung falsch mache.

Gruss tt

16.12.2008, 10:38

klarsoweit

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RE: Integralrechnung Fläche bestimmen

Zitat:

Original von tim taler
Hast Du eine Idee warum ich auf diese utopischen Werte komme?

Rechnest du fälschlicherweise in Gradmaß?

16.12.2008, 11:13

tim taler

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ja daran lag's, danke.
nun brauche ich noch die Nullstellen um die Funktion zeichnen zu können.
Brauch ich auch noch relative Maxima und Minima oder die Periode?
Die Skizze muss ja nicht 100% sein aber man sollte halt erkennen welche Flächenteile später mit welchem Vorzeichen zu belegen sind.

Gruss, tt

16.12.2008, 11:18

klarsoweit

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Du brauchst nur die Nullstellen und mußt dann von Nullstelle zu Nullstelle integrieren und die Beträge der Ergebnisse addieren.

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16.12.2008, 11:57

tim taler

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ok dann Nullstellen:

$\begin{eqnarray*} 2*(sin(x))^2-0.5=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=arsin(\sqrt{\frac{0.5}{2} } ) \end{eqnarray*}$

habe ich nun von Hand gerechnet, das ist aber nur eine Nullstelle, wie komme ich auf die anderen.
Wenn ich es mit dem TR versuche komme ich auf
6.28 * en47 + 2.62 oder
6.28 * en47 + 0.52 oder
6.28 * en48 + 3.67 oder
6.28 * en48 - 0.52 ...

Ich weiß zwar nicht was diese 6.28 bzw. en47 und 48 bedeuten, aber 0,52 ist gleich dem arcsin aus der Wurzel von ein Viertel (siehe oben).
die beiden anderen Werte aus dem TR 2.62 und 3.67 sind, wenn ich mir werners skizze betrachte auch richtig.
wie kann ich diese Werte aber von Hand berechnen?
und woher weiß ich wo die Nulldurchgänge weiter rechts auf der x-Achse liegen?
indem ich den abstand zwischen 0.52 und 2.62 und danach den zwischen 2.62 und 3.67, immer wieder nach rechts abtrage bis 2pi ?

Gruss, tt

16.12.2008, 12:13

klarsoweit

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Schmeiß den Taschenrechner weg. Sowas rechnet man doch im Kopf.

Aus $\begin{eqnarray*} 2*(sin(x))^2-0.5=0 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} (sin(x))^2 = \frac 1 4 \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} sin(x) = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} sin(x) = -\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ .

Da gibt es im Intervall [0, 2pi] jeweils 2 Möglichkeiten.

16.12.2008, 13:55

tim taler

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ich hab es ja oben im kopf gerechnet und 0,52 erhalten.
wie komm ich aber auf die weiteren Stellen im Intervall?
also welche 2 Möglichkeiten?

16.12.2008, 15:49

klarsoweit

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Wann ist denn $\begin{eqnarray*} sin(x) = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$ ?

16.12.2008, 16:28

tim taler

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$\begin{eqnarray*} sin(x)=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x= arcsin (\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=0.52 \end{eqnarray*}$

also ist eine Nullstelle bei 0.52 und eine bei -0.52.
wie komm ich aber mit der Gleichung auf die 2.62 und 3.67 ?

16.12.2008, 18:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von tim taler
$\begin{eqnarray*} x=0.52 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt, das geht ohne Taschenrechner:
$\begin{eqnarray*} sin(x) = \frac 1 2 \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} x = \pi - \frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$ für 0 <= x <= 2*pi.

Analog kannst du dir das für $\begin{eqnarray*} sin(x) = -\frac 1 2 \end{eqnarray*}$ überlegen.

Das kann man alles schön am Einheitskreis ablesen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

17.12.2008, 14:59

tim taler

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ok ich hab das nun soweit von Hand geschafft.
ich habe nun 5 Flächenteile.
3 davon unter der x-Achse und 2 gleichgroße darüber.
Fläche 1 liegt unterhalb der x-Achse im Intervall [0;0.52]
Fläche 2 liegt oberhalb der x-Achse im Intervall [0.52;2.62]
Fläche 3 liegt unterhalb ... im Intervall [2.62;3,66]
Fläche 4 liegt oberhalb ... im Intervall [3.66;5.76]
Fläche 5 liegt unterhalb... im Intervall [5.76;6.28]
es ist nun auch kein Problem die Intervalle in pi anzugeben was ich für die spätere Berechnung zwecks Genauigkeit auch tun werde.
soweit ist nun alles klar.
versuche nun die Flächenformel aufzustellen:
$\begin{eqnarray*} A= \int_{0}^{2\pi}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \int_{0}^{\frac{\pi}{6} }~-f(x)~dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi-\frac{\pi}{6} }~f(x)~dx + \int_{\pi-\frac{\pi}{6}}^{ \frac{7 \pi}{6}}~-f(x)~dx + \int_{\frac{7 \pi}{6}}^ {\frac{11\pi}{6}}~f(x)~dx + \int_{\frac{11 \pi}{6}}^ {2\pi}~-f(x)~dx \end{eqnarray*}$

soweit ok?

Gruss, tt

Dieser Beitrag wurde nach dem Hinweis von thomas köhler und klarsoweit editiert!

17.12.2008, 15:18

klarsoweit

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Keine Einwände. smile

smile

17.12.2008, 15:52

tim taler

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gut! weiter dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~-(2*(sin(x))^2-0.5)~dx = sin(x)* cos(x) -0.5*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~2*(sin(x))^2-0.5~dx =0.5*x - sin(x)* cos(x) \end{eqnarray*}$

nun setze ich in die Flächengleichung ein.
-> Obergrenze minus Untergrenze

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{6})*cos (\frac{\pi}{6})- 0.5 *\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + 0.5*(\pi-\frac{\pi}{6})-sin( \pi-\frac{\pi}{6}) *cos(\pi-\frac{\pi}{6}) -(0.5*\frac{\pi}{6}- sin \frac{\pi}{6}* cos \frac{\pi}{6}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + sin\frac{7\pi}{6} * cos\frac{7\pi}{6} -0.5*\frac{7\pi}{6} -(sin (\pi-\frac{\pi}{6}) * cos(\pi-\frac{\pi}{6}) -0.5*(\pi-\frac{\pi}{6}) ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + 0.5*\frac{11\pi}{6} -sin\frac{11\pi}{6} *cos\frac{11\pi}{6} -(0.5*\frac{7\pi}{6} -sin\frac{7\pi}{6} * cos\frac{7\pi}{6} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + sin2\pi * cos2\pi -0.5*2\pi -(sin (\frac{11\pi}{6}) * cos(\frac{11\pi}{6}) -0.5*(\frac{11\pi}{6}) ) \end{eqnarray*}$
richtig?

Dieser Beitrag wurde nach dem Hinweis von thomas köhler und klarsoweit editiert!

18.12.2008, 17:13

Thomas Köhler

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Fehler!
$\begin{eqnarray*} \frac{11}{6}*\pi \end{eqnarray*}$ ist ebenfalls Nullstelle.

thkoehler.de -> Kurvendiskussion

MfG thk

18.12.2008, 18:15

klarsoweit

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RE: Fehler!
Stimmt. Es sind 4 Nullstellen innerhalb des Integrationsintervalls, also braucht man 5 Integrale.

18.12.2008, 19:26

tim taler

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ok vielen Dank für den Tipp.
ich habe die Beiträge Nr. 13 und 15 auf Seite 1 nun editiert.
es sollte nun soweit stimmen, falls nicht bitte feedback.

nochmal alles übersichtlich:

ich habe nun 5 Flächenteile.
3 davon unter der x-Achse und 2 gleichgroße darüber.
Fläche 1 liegt unterhalb der x-Achse im Intervall [0;0.52]
Fläche 2 liegt oberhalb der x-Achse im Intervall [0.52;2.62]
Fläche 3 liegt unterhalb ... im Intervall [2.62;3,66]
Fläche 4 liegt oberhalb ... im Intervall [3.66;5.76]
Fläche 5 liegt unterhalb... im Intervall [5.76;6.28]
es ist nun auch kein Problem die Intervalle in pi anzugeben was ich für die spätere Berechnung zwecks Genauigkeit auch tun werde.

Flächenformel aufstellen:
$\begin{eqnarray*} A= \int_{0}^{2\pi}~f(x)~dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A= \int_{0}^{\frac{\pi}{6} }~-f(x)~dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi-\frac{\pi}{6} }~f(x)~dx + \int_{\pi-\frac{\pi}{6}}^{ \frac{7 \pi}{6}}~-f(x)~dx + \int_{\frac{7 \pi}{6}}^ {\frac{11\pi}{6}}~f(x)~dx + \int_{\frac{11 \pi}{6}}^ {2\pi}~-f(x)~dx \end{eqnarray*}$

weiter mit:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~-(2*(sin(x))^2-0.5)~dx = sin(x)* cos(x) -0.5*x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~2*(sin(x))^2-0.5~dx =0.5*x - sin(x)* cos(x) \end{eqnarray*}$

nun setze ich in die Flächengleichung ein.
-> Obergrenze minus Untergrenze

$\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{6})*cos (\frac{\pi}{6})- 0.5 *\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + 0.5*(\pi-\frac{\pi}{6})-sin( \pi-\frac{\pi}{6}) *cos(\pi-\frac{\pi}{6}) -(0.5*\frac{\pi}{6}- sin \frac{\pi}{6}* cos \frac{\pi}{6}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + sin\frac{7\pi}{6} * cos\frac{7\pi}{6} -0.5*\frac{7\pi}{6} -(sin (\pi-\frac{\pi}{6}) * cos(\pi-\frac{\pi}{6}) -0.5*(\pi-\frac{\pi}{6}) ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + 0.5*\frac{11\pi}{6} -sin\frac{11\pi}{6} *cos\frac{11\pi}{6} -(0.5*\frac{7\pi}{6} -sin\frac{7\pi}{6} * cos\frac{7\pi}{6} ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + sin2\pi * cos2\pi -0.5*2\pi -(sin (\frac{11\pi}{6}) * cos(\frac{11\pi}{6}) -0.5*(\frac{11\pi}{6}) ) \end{eqnarray*}$

nun berechne ich die 5 Terme(siehe oben) einzeln und addiere diese 5 Resultate...

Term 1 = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3} }{4} -\frac{\pi}{12} \end{eqnarray*}$

Term 2 = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Term 3 = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3} }{2} -\frac{\pi}{6} \end{eqnarray*}$

Term 4 = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3} }{2} +\frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Term 5 = $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{3} }{4} -\frac{\pi}{12} \end{eqnarray*}$

Die Summe der 5 Terme ergibt:
$\begin{eqnarray*} A=2*\sqrt{3} + \frac{\pi}{3} \end{eqnarray*}$

Lösung ok?

Gruss, tt

19.12.2008, 08:18

klarsoweit

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Einen Fehler habe ich nicht gefunden. Ich hoffe mal stark, daß sich nicht noch irgendwo einer versteckt hat. smile

smile

19.12.2008, 11:19

tim taler

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ok. vielen Dank für die Hilfe!!

Gruss, tt

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