Konvergente Reihe

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15.12.2008, 21:12	Simon01	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergente Reihe Nochmals ich... :-) Sei a > 1. Für welche x Element R ist die Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{n=1}^\infty ~\frac{sin(nx)}{a^{n}} \end{eqnarray}$ konvergent? Berechnen Sie: $\begin{eqnarray} f_{m}(x) = \sum_{n=1}^m~\frac{sin(nx)}{a^{n}} \end{eqnarray}$ für diese x sowie den Limes von $\begin{eqnarray} (f_m)_{m \geq 1} \end{eqnarray}$ Ich habe mal folgendes gemacht: Imaginärteil = $\begin{eqnarray} Im \sum_{1}^m~\frac{e^{inx}}{a^n} = Im \sum_{1}^m~( \frac{e^{ix}}{a})^n \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} e^{na} = (e^a)^n \end{eqnarray}$ Für a > 1 gilt: \|sin(nx)\| < 1. Für alle x gilt also: $\begin{eqnarray} \mid \frac{sinnx}{a^n} \mid < a^{-n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum~a_n \end{eqnarray}$ konvergiert so also...ist das richtig, bis jetzt? Wie bekomm ich jetzt genau das x heraus? Herzlichen Dank!
15.12.2008, 21:31	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Falsch. Wie wir alle wissen, ist sin(x) in den reellen Zahlen. Wie kann es also einen Imaginärteil haben?
15.12.2008, 21:38	Simon01	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe eben folgende Umwandlungen gemacht: $\begin{eqnarray} e^i = cos\gamma + isin\gamma \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} e^{inx} = cosnx + isinnx \Rightarrow sinnx = Ime^{inx} \end{eqnarray}$
15.12.2008, 21:45	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, um herauszufinden, dass der Betrag von sin(nx)*a^(-n) kleiner als a^(-n) ist, dafür braucht man keine großartige Rechnung, oder? Außerdem verstehe ich "Für a > 1 gilt: \|sin(nx)\| < 1" nicht, könntest du das bitte mal genauer erklären? Wie man auf das x kommt ist nicht so schwer, ich verrat dir das demnächst, wenn du die obigen Fragen beantwortet hast.
15.12.2008, 21:51	Simon01	Auf diesen Beitrag antworten »
also das "für a > 1" kannst du vergessen...habe das auf dem Blatt nur notiert, und beim Schreiben hier auf dem Computer einfach vorne herangesetzt...tut mir leid hmm...ich würde sagen, \|sin(nx)\| < 1 ist für mich so offensichtlich wie deine wenig grossartige Rechnung ...eventuell würde ich zwar ein ..sinnx ist kleiner GLEICH 1 ...
15.12.2008, 21:57	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, ich verstehe zwar deine letzte Zeile inhaltlich nicht, aber machen wir mal weiter. Jetzt die zwei finalen Fragen: 1. Für welche x ist die Reihe kleiner als die Reihe von a^(-n)? 2. Für welche x konvergiert also die Reihe?
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15.12.2008, 22:16	Simon01	Auf diesen Beitrag antworten »
z.B. für x = 0 ; aber ob es einen "Bereich" für x gibt, in der die Reihe kleiner ist als a^(-n), weiss ich leider nicht... das heisst für x=0 würde sie konvergieren...
15.12.2008, 23:06	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib nochmal die Abschätzung der kompletten Reihe explizit auf. Ich werde dich dann auf die Stelle hinweisen, die wichtig ist.
15.12.2008, 23:22	Simon01	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \mid \frac{sin(nx)}{a^n} \mid \leq 1 \leq a^{-n} \end{eqnarray}$
15.12.2008, 23:24	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, sehr gut. Aber etwas fehlt der vollständigkeithaber noch: a war von Anfang an fest, n und x sind variabel. Für welche x und welche n gilt diese Abschätzung?
15.12.2008, 23:39	Simon01	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt...hihi für x Element von R und n (nehme ich an) Element der natürlichen Zahlen
15.12.2008, 23:53	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, für jedes x gilt deine Abschätzung und deswegen konvergiert deine Reihe auch für jedes x.
16.12.2008, 00:03	Simon01	Auf diesen Beitrag antworten »
okee...und wie soll ich dann die Reihe für "jedes x" berechnen sowie den Limes herausfinden? muss ich da für x einfach unendlich annehmen ? =S
16.12.2008, 00:19	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Hm, keine Ahnung. Schau dir fmal die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen an, vielleicht findest du da was brauchbares, um das n irgendwie aus dem Sinus rauszubekommen.
16.12.2008, 01:30	Simon01	Auf diesen Beitrag antworten »
hmm...nichts brauchbares gefunden...leider =( naja, was ich bis jetzt hab stimmt ja...wird halb so schlimm sein =) Herzlichen Dank!
16.12.2008, 05:33	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nichts brauchbares? Stimmt, nach nähere Recherche ich auch nicht. P.S.: Nicht aufregen, zu welcher Uhrzeit ich poste. Befinde mich iin einer anderen Zeitzone.
16.12.2008, 17:18	Simon01	Auf diesen Beitrag antworten »
hehe kein Problem :-) ..wo denn? Australien? =)

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