Folgen, Reihen

16.12.2008, 00:00	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgen, Reihen Sei $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ eine Folge von reellen Zahlen, $\begin{eqnarray} a_n\neq 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a>1 \end{eqnarray}$ eine reelle Zahl, so dass für fast alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ folgende Abschätzung gilt: $\begin{eqnarray} \left\|\frac{a_n}{a_{n-1}}\right\|+\frac{a}{n}\leq 1 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} \sum_{n=0}^\infty~a_n \end{eqnarray}$ absolut konvergiert. Nun gibts hier auch einen Hinweis, bei der Aufgabe: Zeigen Sie die Ungleichungen $\begin{eqnarray} n\|a_n\|\leq (n-c)\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (c-1)\|a_{n-1}\|\leq (n-1)\|a_{n-1}\|-n\|a_n\| \end{eqnarray}$ , und leiten Sie daraus eine Abschätzung für $\begin{eqnarray} \sum_{n=N_0}^N~\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ her, für $\begin{eqnarray} N\geq N_0\geq 1 \end{eqnarray}$ ) Meine erste Frage ist, woher kommt dieses $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ her aus dem Hinweis? Und überhaupt ich komme nicht klar mit der Aufgabe, hat jemand anderes einen Ansatz für mich? Danke
16.12.2008, 00:35	JustPassingBy	Auf diesen Beitrag antworten »
Öhm, ich konnte die beiden Ungleichungen problemlos aus der Abschätzung durch elementare Umformungen herleiten. Vielleicht hast du dich verrechnet? Und alles was du dann tun musst ist diese Ungleichungen (eigentlich reicht die erste) anzuwenden.
16.12.2008, 18:08	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das man das durch elementare Umformungen macht war mir klar, aber woher kommt denn das c?
16.12.2008, 18:26	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist wohl a = c.
16.12.2008, 19:02	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
Ahso, ok dann habe ich die Ungleichungen raus. Nun muss ich eine Abschätzung für: $\begin{eqnarray} \sum_{n=N_0}^N~\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ herleiten. Vielleicht wie folgt? $\begin{eqnarray} \sum_{n=N_0}^N~\|a_{n-1}\|\leq \sum_{n=N_0}^N~(c-1)\|a_{n-1}\| \leq \sum_{n=N_0}^N~(n-1)\|a_{n-1}\|-n\|a_n\| \end{eqnarray}$ Daraus würde, dann z.B folgen: $\begin{eqnarray} \sum_{n=N_0}^N~ n\|a_n\|+ \sum_{n=N_0}^N~\|a_{n-1}\|\leq \sum_{n=N_0}^N~(c-1)\|a_{n-1}\|+n\|a_n\| \leq \sum_{n=N_0}^N~(n-1)\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \sum_{n=N_0}^N~\|a_{n-1}\|+n\|a_n\| \leq \sum_{n=N_0}^N~(c-1)\|a_{n-1}\|+n\|a_n\| \leq \sum_{n=N_0}^N~(n-1)\|a_{n-1}\| \end{eqnarray}$ Bringt mir das überhaupt etwas?
16.12.2008, 20:05	Jule23	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich möchte wirklich kein Druck ausüben, aber es wäre schön wenn ich die Aufgabe heute Abend noch schaffe, da ich sie morgen abgeben muss.
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