CAUCHYsche Produktreihe

16.12.2008, 10:48

Svenja1986

CAUCHYsche Produktreihe

Bei folgender Aufgabe, weiß ich einfach nicht, wie ich vorgehen soll:

(a)
Bestimmen Sie bitte für $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ die CAUCHYsche Produktreihe zu

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} kz^k \right) \end{eqnarray*}$ ,

und leiten Sie mit Hilfe der CAUCHYschen Produktreihe den Reihenwert von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} k^2z^k \end{eqnarray*}$ her!

(b)
Ermitteln Sie bitte unter Verwendung der CAUCHYschen Produktreihe eine Potenzreihe um den Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray*} z_0 = 0 \end{eqnarray*}$ zum Reihenwert

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z^2} \end{eqnarray*}$

16.12.2008, 16:17

Dual Space

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RE: CAUCHYsche Produktreihe

Zitat:

Original von Svenja1986
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} kz^k \right) \end{eqnarray*}$

Schreibe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ als geometrische Reihe und schreibe das Cauchyprodukt hin.

16.12.2008, 16:22

Svenja1986

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RE: CAUCHYsche Produktreihe
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} kz^k \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left( \sum_{k=0}^{\infty} z^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} kz^k \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ( 0+z +2z^2 + 3z^3 + 4z^4 +5z^5 ...) \cdot (1+z+z^2+z^3+z^4+z^5...) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = z^2 + 2z^4 + 3z^6 + 4z^8 + 5z^{10}... \end{eqnarray*}$

So? smile

16.12.2008, 16:41

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Das ist nicht das Cauchyprodukt. unglücklich

Was du gemacht hast, ist die Reihenglieder mit gleichen Indizes zu multiplizieren. Dafür gibt es keinen Namen, weil das nicht den geringsten Sinn macht.

16.12.2008, 17:00

Svenja1986

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RE: CAUCHYsche Produktreihe
Finger1

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=0}^{\infty} z^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} kz^k \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} z^j \cdot kz^{k-j} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( kz^k \sum_{j=0}^{k} 1 \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{\infty} ( k+1) \cdot kz^k \end{eqnarray*}$

So richtig?

16.12.2008, 17:11

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Nein, schon im ersten Schritt ein Fehler. Richtig wäre

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=0}^{\infty} z^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} kz^k \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} z^j \cdot (k-j)z^{k-j} \right) \end{eqnarray*}$

oder mit vertauschten Rollen der Reihen

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=0}^{\infty} z^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} kz^k \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} z^{k-j} \cdot jz^j \right) \end{eqnarray*}$ ,

das ist rum wie num.

16.12.2008, 17:29

Svenja1986

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$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=0}^{\infty} z^k \right) \cdot \left( \sum_{k=0}^{\infty} kz^k \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} z^{k-j} \cdot jz^j \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} jz^k \right) \end{eqnarray*}$

Wie kann man jetzt weitermachen?

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( z^k \sum_{j=0}^{k} j \right) \end{eqnarray*}$
So?

Irgendwie verstehe ich das Prinzip nicht so ganz unglücklich

16.12.2008, 19:42

Dual Space

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Zitat:

Original von Svenja1986
Irgendwie verstehe ich das Prinzip nicht so ganz unglücklich

Ich habe vielmehr das Gefühl, dass du nicht so ganz verstehst, wie man mit Reihen rechnet. Augenzwinkern

16.12.2008, 20:48

Svenja1986

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Aber wie macht man das dann? Erstaunt1

Ich finde überall nur dieses Standard-Beispiel $\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=0}^{\infty} z^k \right)^2 \end{eqnarray*}$

Und das hilft mir hier nicht weiter verwirrt

16.12.2008, 21:34

Dual Space

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Zitat:

Original von Svenja1986
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} z^{k-j} \cdot jz^j \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} jz^k \right) \end{eqnarray*}$

Erklär mir doch mal bitte warum diese beiden Reihen gleich sein sollen.

16.12.2008, 21:41

Svenja1986

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} z^{k-j} \cdot j \cdot z^j \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} z^{k-j+j} \cdot j \right) = \sum_{k=0}^{\infty} \left( \sum_{j=0}^{k} jz^k \right) \end{eqnarray*}$

Oder kann man das hier nicht so machen? verwirrt

16.12.2008, 22:26

Dual Space

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Doch ist richtig ... hatte mich vertan ... sorry.

Zwar kann man nun noch weiter vereinfachen. Versuchs mal ... deine Idee weiter oben war schon mal gar nicht so schlecht.

17.12.2008, 08:08

Svenja1986

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Diese Idee :
$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( z^k \sum_{j=0}^{k} j \right) \end{eqnarray*}$ ?? smile

Ich bin mir da unsicher wegen diesem "j"... verwirrt

17.12.2008, 09:03

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$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{k} j = \frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

sollte dir nicht fremd sein, oder? Mitunter auch "kleiner Gauß" genannt...

Anmerkung: Ein wenig befremdet mich aber schon die Aufgabenstellung... es scheint eine Folgeaufgabe zu sein, denn so richtig macht die Aufgabenformulierung nur Sinn, wenn vorher schon mal

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} kz^k = \frac{z}{(1-z)^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$

nachgewiesen wurde.

17.12.2008, 18:08

Svenja1986

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Zitat:

Original von Arthur Dent
$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^{k} j = \frac{k(k+1)}{2} \end{eqnarray*}$

sollte dir nicht fremd sein, oder? Mitunter auch "kleiner Gauß" genannt...

Ist mir natürlich nicht fremd.

Also, kann man das auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} = \sum_{k=0}^{\infty} \left( z^k \cdot \frac{k(k+1)}{2} \right) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Arthur Dent
Anmerkung: Ein wenig befremdet mich aber schon die Aufgabenstellung... es scheint eine Folgeaufgabe zu sein, denn so richtig macht die Aufgabenformulierung nur Sinn, wenn vorher schon mal

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} kz^k = \frac{z}{(1-z)^2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$

nachgewiesen wurde.

Also, eine Aufgabe dazu haben wir noch nicht gemacht, aber es ist bestimmt so, dass in dem 600-seitigen Skript vom Prof. irgendwo der Beweis dazu ist. geschockt

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