induzierte Metrik

16.12.2008, 21:25

Gemi

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induzierte Metrik

Sei $\begin{eqnarray*} (X,d) \end{eqnarray*}$ ein metrischer Raum.

Sei $\begin{eqnarray*} X := \left\{\frac{1}{n}; n \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ und d die Standardmetrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ induzierte Metrik auf X. Gib die Menge aller stetigen Funktionen $\begin{eqnarray*} f:X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Ok der erste Satz ist etwas schwer verständlich...zumal wir den Begriff der induzierten Metrik noch gar nicht in der Vorlesung hatten, hab ich mich mal im Internet schlau gemacht.

Ist mit "d die Standardmetrik auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ induzierte Metrik auf X" also

$\begin{eqnarray*} d_X(x,y) := \mid x -y \mid \end{eqnarray*}$

gemeint?

17.12.2008, 08:34

Cordovan

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Sicher, dass der Satz so stimmt, und da nicht noch ein "von" oder "durch" fehlt?

Der Satz
"Sei d die durch die Standardmetrik auf R induzierte Metrik auf X"

ergibt nämlich viel mehr Sinn.

Cordovan

17.12.2008, 12:55

Gemi

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Da steht natürlich noch ein "von", sry Tippfehler unglücklich

unglücklich

17.12.2008, 18:13

Gemi

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RE: induzierte Metrik
Hallo!

Es soll also (X,d) mit $\begin{eqnarray*} X := \left\{\frac{1}{n}; n \in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ die ein metrischer Raum mit $\begin{eqnarray*} d_X(x,y) := \mid x - y \mid \end{eqnarray*}$ sein.

Wie genau soll ich daraus aber alle stetigen Funktionen $\begin{eqnarray*} f :X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ ablesen können? Gibt es da nicht unendlich viele?

17.12.2008, 18:18

Mathespezialschüler

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Ja, aber du kannst ja vielleicht ein Kriterium angeben, wann eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig ist. Es ist ja nicht gefordert, dass du die stetigen Funktionen alle auflistest.

Wann ist denn eine solche Funktion stetig? Setz doch für diesen Spezialfall einfach mal die Definition ein!

17.12.2008, 18:31

Gemi

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Die Stetigkeit für metrische Räume ist ja als

$\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0 \forall x \in X: d(x,x_0) < \delta \Rightarrow d(f(x), f(x_0)) < \varepsilon \end{eqnarray*}$

für die Stetigkeit im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ definiert.

Muss ich jetzt also $\begin{eqnarray*} x_0 := \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ annehmen, und das einsetzen?

Ich versteh nicht ganz wie ich die Definition anwenden kann, da ja keine Funktion gegeben ist...

Mfg!

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17.12.2008, 18:44

Mathespezialschüler

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In der Mathematik muss man auch mit Objekten arbeiten, die nicht konkret vorgegeben sind, sondern ganz allgemein angesetzt werden. Sei eine beliebige Funktion $\begin{eqnarray*} f:X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ gegeben und $\begin{eqnarray*} x_0:=\frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$ für ein festes $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ . Wie sehen denn $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebungen von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ aus? Welche Punkte liegen da nur drin, wenn man $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ genügend klein wählt?

17.12.2008, 18:50

Gemi

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Eigentlich können nur alle Punkt zwischen $\begin{eqnarray*} (0,1] \end{eqnarray*}$ darin liegen, da ja die Folge gegen 0 konvergiert, sie aber nich erreicht, und für die natürlichen Zahlen (bei uns aber 1 definiert) mit der 1 beginnen ist ja für $\begin{eqnarray*} n_0 = 1 \to x_0 = 1 \end{eqnarray*}$

17.12.2008, 18:53

Gemi

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alle Werte, nicht alle Punkte, sry

17.12.2008, 18:53

Mathespezialschüler

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Hm nein, darum geht es nicht. Man betrachtet jetzt nicht mehr die Folge, sondern einen festen Punkt! $\begin{eqnarray*} x_0=\frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$ soll ja ein fester Punkt sein, z.B. $\begin{eqnarray*} x_0=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ . Wenn du jetzt eine genügend kleine $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung um $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ legst, welcher der Zahlen aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ , d.h. welche der Zahlen $\begin{eqnarray*} 1,\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{5},\frac{1}{6},\ldots \end{eqnarray*}$ liegen dann dadrin?

17.12.2008, 18:57

Gemi

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Würde man z.B. $\begin{eqnarray*} \delta = 0.05 \end{eqnarray*}$ wählen, würde z.B. nur das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ darin liegen, weil ja $\begin{eqnarray*} 0.33 - 0.05 > 0.25 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0.38 < 0.5 \end{eqnarray*}$

17.12.2008, 19:29

Mathespezialschüler

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Ok, wenn du jetzt nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} x_0=\frac{1}{1000} \end{eqnarray*}$ hast, dann geht das auch. Du musst dann $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ eben nur sehr sehr klein wählen. Es geht also sogar für jedes $\begin{eqnarray*} x_0=\frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$ .

Sei also ein solches festes $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gegeben und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Was für ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ könntest du denn dann vielleicht wählen, damit die Aussage der Stetigkeitsdefinition erfüllt ist?

17.12.2008, 19:36

Gemi

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Meine Idee wäre vlt immer das Minimum zwischen 1 und $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ zu nehmen, weil ja die Punkte zwischen 0 und 1 schwanken, aber ich glaub nicht, dass das stimmt.

17.12.2008, 19:40

Mathespezialschüler

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Wir hatten doch gerade immer ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ konstruiert, sodass in der $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ kein anderer Punkt, also nur $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ selbst liegt. Vielleicht ist dieses $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ ja geeignet?!

17.12.2008, 19:43

Gemi

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Ich verstehe was du meinst, aber wie drück ich das "in Formeln" aus? :/

17.12.2008, 19:44

Gemi

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Kann man einfach $\begin{eqnarray*} \delta = \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ setzen?

17.12.2008, 19:49

Mathespezialschüler

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Nein, kann man natürlich nicht.

Man muss aber auch nicht alles in Formeln ausdrücken. Es reicht doch die Existenz! In der Mathematik kann man nicht immer alles konstruktiv machen, manchmal geht es auch nur über eine Existenzaussage.

Also man findet auf jeden Fall zu einem fest vorgegebenem $\begin{eqnarray*} x_0=\frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ , sodass die $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ -Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur den Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ enthält. Das ist an sich klar und eigentlich kann man das, wenn man sich vorher schon mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ beschäftigt hat, auch einfach so hinschreiben. Du kannst das $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ aber auch einfach konstruieren. Es muss so gewählt sein, dass

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0+1}\leq \frac{1}{n_0}-\delta<\frac{1}{n_0}+\delta\leq\frac{1}{n_0-1} \end{eqnarray*}$

gilt. Und dann kann man natürlich nicht einfach $\begin{eqnarray*} \delta=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ wählen. Was soll denn dabei $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ sein?

17.12.2008, 19:53

Gemi

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Es sollte natürlich auch $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ heißen unglücklich

unglücklich

.

Nur verstehe ich noch nicht ganz, wie dadurch jetzt die Stetigkeit folgt, bzw. wie ich damit sagen, welche Funktionen in X stetig sind...

Aber schon mal vielen Dank für deine Hilfe!

17.12.2008, 19:59

Mathespezialschüler

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Ok, sei $\begin{eqnarray*} f:X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine beliebige Funktion, $\begin{eqnarray*} x_0=\frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ein fester Punkt und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig vorgegeben. Definiere $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wie oben. Du musst zeigen, dass aus $\begin{eqnarray*} d(x,x_0)<\delta \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ auch immer $\begin{eqnarray*} d(f(x),f(x_0))<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ist. Warum ist das trivial?

17.12.2008, 20:11

Gemi

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Also es ist ja gerade

$\begin{eqnarray*} d(x,x_0) = \mid x - \frac{1}{n_0} \mid < \delta \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0} - \delta < x < \frac{1}{n_0} + \delta \end{eqnarray*}$ , dass ist dann auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0 +1} \leq \frac{1}{n_0} - \delta < x < \frac{1}{n_0} + \delta \leq \frac{1}{n_0-1} \end{eqnarray*}$

Wie lässt sich damit jetzt die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \mid f(x) - f(x_0) \mid \end{eqnarray*}$

abschätzen?

17.12.2008, 20:30

Mathespezialschüler

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Wenn $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ sein soll und die Ungleichung gilt, die du da hingeschrieben hast, welchen Wert kann $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dann nur haben?

17.12.2008, 20:36

Gemi

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Also für ein festes $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ dann eigentlich nur $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$ ...

Noch eine Frage am Rand. Wir haben in der Aufgabe dafür isolierte Punkt behandelt und gesagt: $\begin{eqnarray*} a \in X \end{eqnarray*}$ ist isolierter Punkt, wenn es ein $\begin{eqnarray*} \delta > 0 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} B(a, \delta) = {a} \end{eqnarray*}$ ist. Dann ist jede Funktion $\begin{eqnarray*} f : X \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ stetig in a. Kann ich das jetzt nicht einfach für die Punkte $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ verwenden (ich glaube bald so war es gedacht...)

17.12.2008, 20:40

Gemi

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dafür = davor.

17.12.2008, 20:42

Mathespezialschüler

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Ja, natürlich. Genau das habe ich ja die ganze Zeit erzählen wollen, dass es nämlich solch ein $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ gibt. Es ist ja auch anschaulich klar, dass $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ nur aus isolierten Punkten besteht. Ich wusste nicht, dass du den Begriff schon kennst. So ist es natürlich einfach. Und jetzt siehst du vielleicht auch, dass ich genau darauf die ganze Zeit hinaus wollte.

17.12.2008, 20:47

Gemi

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Ja, dass das ganze ohne Funktion ist, hat mich am Anfang irgendwie total verwirrt. Vielen Dank smile

smile

Eine Frage hab ich noch aus Interesse...

Wenn ich noch die 0 dazunehmen würde, also den metrischen Raum auf $\begin{eqnarray*} X := \{0\}\cup \{\frac{1}{n} \mid n \in \mathbb N\} \end{eqnarray*}$ erweitere, lassen sich die Punkte dann einfach als $\begin{eqnarray*} x_0 = \frac{1}{n_0} \end{eqnarray*}$ für ein festes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und einfach $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ sonst, dann unter zur Hilfenahme der Kugel beschreiben?

D.h. also dass wieder alle Funktionen mit $\begin{eqnarray*} x_0 \in X \end{eqnarray*}$ fest stetig sind, mit $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ wie eben beschrieben.

mfg!

17.12.2008, 20:54

Gemi

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bzw ordentlich formuliert $\begin{eqnarray*} x_0 = 0 \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} n = 0 \end{eqnarray*}$

17.12.2008, 20:56

Mathespezialschüler

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Du darfst dich nicht so auf das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ versteifen. Wir hatten eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und haben dann ein festes $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ gewählt und gezeigt, dass die Funktion in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig ist. Da $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ beliebig war, muss die Funktion somit überall stetig sein. Das war aber nur eine Zwischenüberlegung bzw. -wahl. Das $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ hat also mit der gesamten Funktion und deren Stetigkeit nichts zu tun. Deswegen verstehe ich auch nicht so recht, was du mit den ganzen $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ 's jetzt meinst.

Und bei dem neuen Raum ist $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ kein isolierter Punkt! Da ist also nicht jede Funktion stetig. Zur Lösung der Aufgabe siehe hier.

17.12.2008, 21:03

Gemi

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Ok! Aber wie kann man den Grenzwert ohne Funktion abschätzen?

17.12.2008, 21:35

Mathespezialschüler

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Soll man gar nicht. Man soll eine Charakterisieung angeben: Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:X\to\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist genau dann stetig, wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)=f(0) \end{eqnarray*}$ gilt. Was du mit Grenzwert abschätzen meinst, verstehe ich nicht.

17.12.2008, 21:36

Gemi

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Ich meinte deine letzte Ausführung zu dem Thema:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Ja, natürlich muss es für jede Nullfolge aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gelten. Aber wenn es für $\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ gilt, dann auch für alle anderen Nullfolgen, da diese in gewisser Weise Teilfolgen davon sind. Das stimmt zwar nicht ganz (also das mit den Teilfolgen), aber es soll dir ungefähr erklären, warum das so ist. Dass es wirklich so ist, kannst du ja mal streng beweisen: Sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge aus $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig vorgegeben. Du musst zeigen, dass es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ stets

$\begin{eqnarray*} |f(x_n)-f(0)|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

gilt. Versuch das mal. Benutzen sollst du dabei jetzt wirklich nur

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}f\left(\frac{1}{n}\right)=f(0) \end{eqnarray*}$ .

17.12.2008, 21:38

Mathespezialschüler

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Ok, sei $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig. Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} m_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} \left|f\left(\frac{1}{m}\right)-f(0)\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} m\geq m_0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt darfst du mal weiter machen: Da $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, gilt nun was?

17.12.2008, 21:41

Gemi

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Dann muss auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \to 0 \end{eqnarray*}$ gehen, also ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} \mid f(0) - f(0) \mid < e \end{eqnarray*}$ .

Kann man das so einfach sagen?

17.12.2008, 21:44

Gemi

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Ich muss leider zu meinem Bus, ich schaus mir morgen an...

Vielen dank noch mal für deine Hilfe smile

smile

bis hierher

17.12.2008, 22:12

Mathespezialschüler

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$\begin{eqnarray*} f(0)-f(0) \end{eqnarray*}$ ist immer Null, das bringt einem doch nichts. Also: Da $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, gibt es ein $\begin{eqnarray*} n_0\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq x_n\leq \frac{1}{m_0} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Für jedes solche $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ gibt es aber ein $\begin{eqnarray*} m_n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n=\frac{1}{m_n} \end{eqnarray*}$ , womit dann $\begin{eqnarray*} m_n\geq m_0 \end{eqnarray*}$ sein muss. Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} |f(x_n)-f(0)|=\left|f\left(\frac{1}{m_n}\right)-f(0)\right|<\varepsilon \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ . Das war gerade zu zeigen.

19.12.2008, 19:04

Gemi

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Ok habs verstanden.

Vielen Dank nochmal für deine Hilfe!

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