n. Potenz von 3 endet auf 0001

16.12.2008, 21:36

pablo94

n. Potenz von 3 endet auf 0001

Guten Abend Wink

. Ich hätte gerne wieder ein oder zwei Tipps zu einer Aufgabe:

Beweise, dass es eine Potenz von 3 gibt, die auf 0001 endet.

Ich habe schon so viel festgestellt, dass 3^(x*4) [und x Element der nat. Zahlen] auf 1 endet und dass die Zahl recht groß sein muss.

16.12.2008, 21:56

novatena

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RE: n. Potenz von 3 endet auf 0001
Unsere Aufgabe ist, mindestens eine Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ herauszufinden, für die gilt $\begin{eqnarray*} 3^n-1 \end{eqnarray*}$ auf 0000 endet.

$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ kann $\begin{eqnarray*} 4000 \end{eqnarray*}$ sein Hammer

Es ist schwierig zu erkären, wie kommt diese Zahl vor. Denn ich muss etwas olympiade Mathematik benutzen.

16.12.2008, 22:20

Airblader

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Wenn man

$\begin{eqnarray*} 3^n - 1 \equiv 0\mod 10000 \end{eqnarray*}$

nimmt, dann weiß man, dass - da $\begin{eqnarray*} 3 \not |~ 1000 \end{eqnarray*}$ -

$\begin{eqnarray*} 3^{\varphi (10000)} - 1 \equiv 0\mod 10000 \end{eqnarray*}$

ist. Anders gesagt:

$\begin{eqnarray*} n = \varphi(10000) = 4000 \end{eqnarray*}$

ist eine Lösung.

kleiner Link zur Eulerschen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ -Funktion

ist.

17.12.2008, 08:54

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Das genügt als Lösung vollkommen, da ja nur irgendein solches $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gesucht ist. Wenn man ein klein wenig mehr investiert, dann findet man, dass bereits $\begin{eqnarray*} n=\varphi(5^4)=500 \end{eqnarray*}$ genügt.

17.12.2008, 16:56

pablo94

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Danke euch allen^^.

17.12.2008, 17:18

pablo94

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Aber
@Airblader: warum

Zitat:

da $\begin{eqnarray*} 3 \not |~ 1000 \end{eqnarray*}$

müsste es nicht heißen da $\begin{eqnarray*} 3 \not |~ 10000 \end{eqnarray*}$ ?