Untergruppen und Homomorphismen

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lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen und Homomorphismen
Noch eine Aufgabe die mir Kopfzerbrechen bereitet:

Seien G und H Gruppen und
ein Gruppenhomomorphismus. Zeigen Sie die folgenden Aussagen:

a) Ist eine Untergruppe, dann ist eine Untergruppe von H.

b) Ist eine Untergruppe, dann ist eine Untergruppe von G.

c) ist genau dann injektiv, wenn = {e}.

d) Ist ein Isomorphismus, so auch die Umkehrabbildung

ich verstehe leider das mit den Untergruppen immer noch nicht...
Ich weiß zwar die Defintion von Untergruppen, aber kann dann mit sowas überhaupt nix anfangen...
Bei c) hätte ich noch eine vage idee, weil das was mit injektiv ist, das hab ich soweit verstanden... aber bei allen andern fehlt mir jeglicher ansatz...

bitte um hilfe Gott

LG Lili
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Untergruppen und Homomorphismen
a) Zeige, dass eine Untergruppe ist, also:
1. Ein Einselement muss vorhanden sein.
Dies kann nur das Einselement von sein und es ist zu zeigen, dass es ein gibt, mit . (Schau dazu auch mal hier)
2. Abgeschlossenheit bezüglich der Verknüpfung.
Zeige, dass in liegt (Homomorphieeigenschaften ausnutzen)
3. Existenz des Inversen.
Finde zu ein Element , mit
4. Assoziativität.
Da alle Elemente aus in liegen, folgt die Assoziativität aus der Gruppeneigenschaft von H. Hier ist nichts weiter zu tun.

b) Macht man dann so ähnlich, versuch erst mal a)

c) Wären die vagen Ideen vorher interessant

d) ist bijektiv, also existiert die bijektive Umkehrabbildung und es ist nur noch die Linearität zu zeigen. Nimm und verwende jetzt die Surjektivität von (x und y haben Urbilder!)
 
 
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

ich komm leider nicht wirklich weit mit den tipps, ich versteh da so wenig^^
irgendwie kann ich mir das alles nich vorstellen und das is für mich das größte problem...

ok die kriterien sind mir klar, auch wenn ich immer noch nich verstehe wie man die bei sowas allgemeinem anwenden kann, auch nich mit den tipps....

meine vage idee ist: dass wenn der kern 2 oder mehr elemente enthalten würde, würde es 2 oder mehr elemente geben die auf e abgebildet werden(laut Definition von Kern) somit wäre es surjektiv...

und für injektiv gilt ja: dass jedem h aus H höchstens ein g aus G zuordnet. somit wird auch nur ein element auf e geschickt. Somit kann ker nur e enthalten...


dann multipliziere ich mit
daraus folgt:

aba ob das wirklich was aussagt weiß ich auch nich genau...^^ geschweige denn ob es stimmt^^

kann mir jmd helfen^^

LG Lili
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und für injektiv gilt ja: dass jedem h aus H höchstens ein g aus G zuordnet

Die Abbildung geht aber von G nach H und nicht umgekehrt. Machen wir das lieber der Reihe nach, denn kurz darauf stand bei Dir ja etwas sehr sinnvolles

Zitat:


dann multipliziere ich mit
daraus folgt:

Im ersten Term habe ich das entfernt und schon steht genau das da, was man für a)1. benötigt. ( das neutrale Element in wird auf abgebildet)

2. ist wirklich nicht schwer, eigentlich nur ein Schritt.
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

ok bei 2)

??
x und y sind ja aus oder?? und das(was ich grad gerechnet hab) gilt ja aufgrund von homomorphie(von H) oder? also liegt das ergebnis dann auch wieder in . es gilt weil in H liegt....?

zu 3) ein inverses müsst es geben weil ja U in G liegt oder? also weil G ja eine Gruppe is und ein Inverses beeinhaltet müsste es auch in U eins geben....oder?

4) wie schreib man das am besten formal auf??

geht das alles dann (fast) genauso für b) also Untergruppe V ??

LG Lili
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Moooment.
Wieso sollten x und y in sein? Wir nehmen uns zu Beginn zwei beliebige Elemente aus her, die sich dann als und für geeignete darstellen lassen. Wir wollen zeigen, dass das Produkt ebenfalls in liegt und nun ist . Da eine Untergruppe ist, liegt nun wegen auch und somit . Soweit klar?

3.
Wir nehmen uns eine beliebiges Element aus , das sich dann als für ein darstellen lässt. Wie finde ich nun ein Inverses dazu, also ein mit
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

das müsste dann dann das y sein dass in U das Inverse zu x ist, da ja U eine Untergruppe ist gibt es solche ein y, oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Soweit richtig. Noch Fragen zu a)?

zu b):
1: Einselement. Wieso vorhanden?
2+3: Seien , d.h. . Wieso liegt , wieso gibt es dort ein Inverses zu x?
4: wie bei a)
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

also a) ist soweit klar.

b) ist doch sozusagen die umkehrfunktion von dem Gruppenhomomorphismus oder? also oder?
rein theoretisch müsste das ja dann genausosein wie bei a) also dass

multiplizieren mit inversen:


und weiter, wieder weil x,y aus V(Untergruppe) gilt weil x*y aus V auch das ganze in oder?

inverse auch so...?

lg
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

NEIN!

Wir haben hier KEINE Umkehrfunktion. bezeichnet die Urbildmenge und wird insofern auch häufig als geschrieben. Was ist wenn die Nullfunktion ist, wie soll dann die Umkehrfunktion aussehen?

Die Umkehrfunktion existiert nur für den Fall, dass ein Isomorphismus ist und dass die Umkehrfunktion dann linear ist, ist auch noch zu zeigen (d).


Zitat:
und weiter, wieder weil x,y aus V(Untergruppe) gilt weil x*y aus V auch das ganze in oder?

Versuche bitte Deine Gedanken so aufzuschrieben, dass man sie auch versteht. Ich kann hier nicht erkennen, ob Du das richtige meinst oder nicht.
lilithilli1210 Auf diesen Beitrag antworten »

hm ok

dann steh ich leider wieder bei null.... unglücklich

zu c) hätte ich allerdings noch was:

also die eine richtung:

da ja gilt, ist
da injektiv ist gilt:

die andere Richtung
es seien mit
zu zeigen ist also a=b

es gilt:

daraus folgt:

also folgt . Da folgt also a=b.
das war zu zeigen.

LG
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

c) Sieht gut aus. Freude

Zitat:
Original von Reksilat
zu b):
1: Einselement. Wieso vorhanden?
2+3: Seien , d.h. . Wieso liegt , wieso gibt es dort ein Inverses zu ?
4: wie bei a)

Und wo ist hier das Problem?
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