Integral

17.12.2008, 16:02

axelt

Integral

Wir haben ewig dran rumgerechnet und es nicht hinbekommen, Stammfunktion von

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}~\frac{1}{1+x+\sqrt{1-x^2}dx}~dx \end{eqnarray*}$

Wir hatten wohl mal die Umformung durch Substitution

$\begin{eqnarray*} \sqrt{2-x^2} \end{eqnarray*}$

aber auch die hat uns nicht geholfen.

17.12.2008, 16:33

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Probier mal die Substitution $\begin{eqnarray*} x = \frac{2u}{u^2+1} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

17.12.2008, 19:47

axelt

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Ich komme da auf etwas wie

$\begin{eqnarray*} \frac{1-u^2}{u^4+u^3+u^2+u} \end{eqnarray*}$

17.12.2008, 19:57

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Doch, es funktioniert - streng dich mal mehr an!

17.12.2008, 20:07

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Da du deinen letzten Beitrag sinnändernd editiert hast (macht man eigentlich nicht):

Zitat:

Original von axelt
Ich komme da auf etwas wie

$\begin{eqnarray*} \frac{1-u^2}{u^4+u^3+u^2+u} \end{eqnarray*}$

Und wieso sagst du dann, dass es nicht funktioniert? Gebrochenrationale Funktionen sind immer integrierbar!

Außerdem kannst du hier in Zähler und Nenner $\begin{eqnarray*} (1+u) \end{eqnarray*}$ ausklammern und das dann noch kürzen, dann wird es noch einfacher.

EDIT: Aber zeig nochmal deinen Rechenweg, da scheint mir ein Faktor $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ im Nenner zuviel zu sein.

17.12.2008, 20:15

axelt

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Hatte es dann gerade nochmal versucht, dachte erst es ginge nicht. Und vielleicht weil ich sowas als Erstsemester nicht erkenne, allein schon die Substitution find ich mega abgespaced wenn man sowas noch nie gesehen hat ;-)

Mach das dann jetzt fertig,
habe mit PBZ:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x}-\frac{x+1}{x^2+1} \end{eqnarray*}$

Da würde ich eben noch den zweiten Bruch auseinander nehmen, dann ließe der sich recht einfach aufleiten.

17.12.2008, 20:21

axelt

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Da hätte ich dann jetzt

$\begin{eqnarray*} \log \left(\frac{\mid u\mid}{\mid \sqrt{u^2+1}\mid} \right) - \arctan(u) \end{eqnarray*}$

Das ganze dann eben mit den umgerechneten Grenzen.

17.12.2008, 20:22

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Ich bin immer noch der Meinung, dass da ein $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ im Nenner zuviel ist. Kann es sein, dass du "falsch" Wurzel gezogen hast? Im vorliegenden Integral ist $\begin{eqnarray*} 0\leq u\leq 1 \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(u^2-1)^2} = |u^2-1| = 1-u^2 \end{eqnarray*}$ .

17.12.2008, 20:32

axelt

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Damit käme ich auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(u-1)(u^2+1} \end{eqnarray*}$

17.12.2008, 20:36

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Nein. Substitution

$\begin{eqnarray*} x = \frac{2u}{1+u^2} \end{eqnarray*}$ ergibt $\begin{eqnarray*} \dd x = \frac{2(1+u^2)- 2u\cdot 2u}{(1+u^2)^2} ~ \dd u = \frac{2(1-u^2)}{(1+u^2)^2} ~ \dd u \end{eqnarray*}$ ,

sowie

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x+\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{1+\frac{2u}{1+u^2}+\sqrt{1-\frac{4u^2}{(1+u^2)^2}}} = \frac{1+u^2}{(1+u^2)+2u+(1-u^2)} = \frac{1+u^2}{2(1+u)} \end{eqnarray*}$ .

Alles eingesetzt kommt man zu

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^1 ~ \frac{1}{1+x+\sqrt{1-x^2}} ~ \dd x = \int\limits_0^1 ~ \frac{1+u^2}{2(1+u)} \cdot \frac{2(1-u^2)}{(1+u^2)^2} ~ \dd u = \int\limits_0^1 ~ \frac{1-u}{1+u^2} ~ \dd u \end{eqnarray*}$ .

17.12.2008, 20:50

axelt

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Alles klar! Vielen Dank, so ist es ja jetzt lösbar :-)
Kurze Frage noch zum Ansatz: Gibt es für so etwas noch irgendwelche Tricks oder kennt man die einfach mit der Zeit?

17.12.2008, 20:55

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Ganz offen gesprochen bin ich so drauf gekommen:

Zuerst Substitution $\begin{eqnarray*} x=\sin(t) \end{eqnarray*}$ , da der Term $\begin{eqnarray*} \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ irgendwie danach schreit. Dann erhält man eine gebrochen rationale Funktion in $\begin{eqnarray*} \sin(t),\cos(t) \end{eqnarray*}$ . Und die wiederum löst man mit der Generalsubstitution $\begin{eqnarray*} u=\tan\left( \frac{t}{2} \right) \end{eqnarray*}$ . Und diese beiden Substitutionen habe ich dann lediglich in eine gepackt:

$\begin{eqnarray*} x=\sin(2\arctan(u)) = \frac{2u}{1+u^2} \end{eqnarray*}$ .

21.12.2008, 14:09

axelt

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Das ja nahezu genial ;-)
Habe das mittlerweile mal in Wikipedia nachgelesen und nachgerechnet, ich frag mir warum uns solche Tricks vorenthalten werden.

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