Beweis, Matrizen

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TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis, Matrizen
Hallo Leute,

es geht um einen Beweis, bei dem ich überhaupt keinen Ansatz habe. Ich kann zwar Beispiel bringen, aber das nützt ja nichts.

Es sei C element M(m x n) eine Matrix von Rang k. Man beweise: Es gibt Matrizen A element M(m x k) und B element M(k x n) mit C=AB

Ich hoffe, ihr könnt mir weiterhelfen.

k=m für k<n
k=n für k<m

Und irgendwas mit lin. abh./unabh.?
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Reicht das, wenn ich schreibe, dass es solche Matrizen A und B mit der Eigenschaft gibt, dass ?
Bew:
 
 
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, natürlich nicht. Warum sollte das reichen? In der Mathematik muss man alles begründen können. Kannst du also begründen, dass das reicht?
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss halt beweisen, dass die Matrix AB den Rang k hat.

Wenn m=n=k, dann gehts ja, dann haben wir immer k x k - Matrizen. Dann muss man die Bedingung aufstellen, dass die Spaltenvektoren von A und B jeweils linear unabhängig sind.
Mathespezialschüler Auf diesen Beitrag antworten »

Und was sind und dabei? Du musst doch solche Matrizen finden mit !
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß gar nicht, wie ich das ansetzen soll.
TommyAngelo Auf diesen Beitrag antworten »

So, hab mir mal was überlegt:

A ist zb. die Einheitsmatrix. Sie kann mit möglichen Nullzeilen unter der k-ten Zeilen ergänzt sein, und B ist die transponierte Matrix A, wobei es bei der Matrix B egal ist, was in der k+1-ten bis n-ten Spalte steht, weil wir ja schon die Nullzeilen
(k+1 bis m) bei der Matrix A haben.



Und B halt die transponierte von A. Dann müssten doch beide den Rang k haben.

Anders ausgedrückt: Eine Matrix A mit Rang k, die ab der k+1-Zeile bis m Nullzeilen enthält/(enthalten kann). A* sei die "abgeschnittene" (ohne Nullzeilen) k x k - Matrix von A. Dann ist B* die transponierte von A*. B* kann jetzt mit beliebigen Spalten von k+1 bis n ergänzt werden.
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