Transponierte Matrizen

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Mary19 Auf diesen Beitrag antworten »
Transponierte Matrizen
Hallo Liebe Community, ich möchte euch eine Aufgabe zeigen die ich bearbeitet habe.
Wo ich mir aber nicht sicher bin ob sie richtig ist:

Aufgabe: Für ist die transponierte Matrix definiert durch für , . Man schreibt für . Zeige:

a) Es gilt , , für alle , .

b) Zeige dass das Produkt von zwei Matrizen genau dann definiert ist, wenn definiert ist. Es gilt dann

Ich habe versucht die Aufgaben wie folgt zu lösen:

a) i)

ii)

iii)

Geht das so?

Nun zur b)
"

Es gilt:

Nun ist und definiert wenn definiert ist.

""

Es gilt:

Nun ist und definiert wenn definiert ist.

Jetzt fehlt mir nur noch dass ich zeige dass gilt:
In meinen Gedanken ist das völlig klar und trivial, nur habe ich Schwierigkeiten das zu zeigen.

Könnte jemand ein Blick drauf werfen ob das so stimmt und mir vielleicht noch ein Tipp zu der letzten geben?

Danke
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transponierte Matrizen
Zitat:
Original von Mary19
Jetzt fehlt mir nur noch dass ich zeige dass gilt:
In meinen Gedanken ist das völlig klar und trivial, nur habe ich Schwierigkeiten das zu zeigen.





Ein Element der transponierten Matrix ist


und somit .
Sway Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Transponierte Matrizen
Kann mir bitte bitte jemand erklären, warum hier Kommutativität gilt? Die Matrixmultiplikation ist doch im Allgemeinen nicht muliplikativ...???
Dankeschön
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Wo genau gilt Kommutativität? Da musst du schon etwas konkreter werden. Falls dich die Regel überrascht, so hat Raumpfleger doch einen nachvollziehbaren Beweis erbracht.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke für deine Antwort.

Ja der Beweis schaut gut aus, aber mir ist nicht klar warum:



gilt?
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Dort rechnet man nur noch mit Einträgen der Matrizen, dies sind Elemente eines Körpers und somit vertauschen sie.
Dabei steht z.B. für den Eintrag von in der i-ten Zeile und j-ten Spalte.
 
 
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Aha, also könnte man sagen, dass hier die Kommutativität des Körpers gilt oder?

Aber dann müsste ja das "Unvertauschte" genau so gelten, also A^T*B^T??
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ein Körper hat immer eine kommutative Multiplikation.
Und ist eigentlich nur die gleiche Aussage mit vertauschten Bezeichnungen. Grundvoraussetzung ist natürlich immer, dass sich und in der Form aneinandermultiplizieren lassen, d.h. dass die Multiplikation wohldefiniert ist.
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Aber es gilt:



warum gilt nicht auch:

jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Du möchtest daraus jetzt folgern, dass , nicht wahr? Das geht deswegen schief, weil den Eintrag in der i-ten Zeile und j-ten Spalte von beschreibt und nicht von .
Sway Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau das meinte ich.

Hm, ja ich glaub ich weiß jetzt was du meinst. Das passt ja dann auch nicht mit der Defintion der Matrixmulitiplikation zusammen...

Super, tausend Dank für deine schnellen Antworten! Ich hab echt ewig darüber gegrübelt!
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