Bedingte Erwartung von u.i.v ZV

17.12.2008, 21:19

Fletcher

Bedingte Erwartung von u.i.v ZV

Guten Abend,

kleine Aufgabe:
Seien $\begin{eqnarray*} X_1,X_2,...X_n \end{eqnarray*}$ unabhängige und identisch verteilte integrierbare ZV. Setze

$\begin{eqnarray*} S_n:=\sum_{i=1}^n X_i \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass gilt: $\begin{eqnarray*} E[X_i|S_n]=\frac{1}{n}S_n \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} i=1,...,n \end{eqnarray*}$

Meine Idee:
Die Zufallsvaiable $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist fast sicher bzgl. ihrer erzeugten Sigma-Algebra messbar. D.h.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}S_n=E[\frac{1}{n}S_n|S_n]=\frac{1}{n}E[\sum_{i=1}^n X_i|S_n]=E[X_i|S_n] \end{eqnarray*}$

wobei in der letzten Gleichheit nochmals die Linearität des Erwartungswertes ausgenutzt wurde.

Was meint ihr? Habe ich das richtig gemacht?

17.12.2008, 21:34

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Die einzigen Einwände habe ich gegen diese Formulierung:

Zitat:

Original von Fletcher
Die Zufallsvaiable $\begin{eqnarray*} S_n \end{eqnarray*}$ ist fast sicher bzgl. ihrer erzeugten Sigma-Algebra messbar.

Sowas wie "fast sicher messbar" gibt es nicht: Eine Funktion ist messbar oder sie ist es nicht. Was du vermutlich meinst, ist

$\begin{eqnarray*} E(S_n \bigm| S_n) = S_n \end{eqnarray*}$ fast sicher.

17.12.2008, 21:47

Fletcher

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Ja das stimmt natürlich, da habe ich mich schlecht ausgedrückt.

Konnte mir nicht vorstellen, dass diese Aufgabe so einfach geht.

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