Hornerschema / Berechnung von Nullstellen

18.12.2008, 10:35	mathe=0	Auf diesen Beitrag antworten »
Hornerschema / Berechnung von Nullstellen Hallo Ich habe eine Frage zum Hornerschema. Und zwar kann ich ja bei einer Funktion, nachdem ich eine Nullstelle durch Ausprobieren gefunden habe, diese als Argument für das Hornerschema benutzen, und das Polynom so in die richtige Form bringen um dann die PQ-Formel anzuwenden. Das funktioniert alles solange die Funktion z.B. die Form x^3 + x^2 + x + 1 hat. Meine Frage ist ob das auch funktioniert wenn die Funktion noch ein Glied mehr hat, also z.b. x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 Weil ich nach Berechnung des Hornerschemas ja jeweils die Resultate nehmen die unten rauskommen, um dann die PQ-Formel aufzustellen. Bei x^3 + x^2 + x + 1 kriege ich dann ja für jedes x ein Zwischenresultat und bei 1 sollte 0 rauskommen wenn ich wirklich eine Nullstelle als Argument benutzt habe. Bei x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 habe ich dann aber ja wie eine Stelle zuviel für die PQ-Formel? Gehts dann nur noch mit Polynomdivision weiter oder muss ich irgendwie umformen?
18.12.2008, 10:37	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hornerschema / Berechnung von Nullstellen Egal wie, wenn du nur durch einen Linearfaktor teilst, dann reduziert sich der Grad nur um 1.PQ geht erst für den GRad 2. also musst du solange abspalten, bis dieser GRad erreicht ist.
18.12.2008, 10:41	mathe=0	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Hornerschema / Berechnung von Nullstellen Was genau verstehst du unter abspalten? Bzw. was konkret muss ich machen wenn ich das Hornerschema berechnet habe und zuviele Stellen habe? Einfach x ausklammern? Wenn ja, dann verändert sich dadurch ja das absolute Glied, stimmt das dann immer noch so?
18.12.2008, 10:59	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, x ausklammern geht in der Regel ja nicht. Abspalten (durch Polynomdivision) kann man nur einen Linerarfaktor (x - x1), wenn x1 ebenfalls eine Lösung beim Nullsetzen (Nulllstelle) des Polynomes ist. mY+
18.12.2008, 11:02	mathe=0	Auf diesen Beitrag antworten »
Das heisst für eine Funktion wie diese, x^4 + x^3 + x^2 + x + 1, macht es gar keinen Sinn das Hornerschema zu berechnen und ich muss so oder so die Polynomdivision anwenden? Um ehrlich zu sein habe ich bald Prüfungen und habe einen Weg gesucht auf dem ich die Polynomdivision meiden kann, da mir diese nicht liegt und daher eine Fehlerquelle ist.
18.12.2008, 13:08	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei der von dir angegeben Gleichung gibt es sogar einen algebraischen Lösungsweg, weil diese Gleichung "symmetrisch" ist, d.h. symmetrisch angeordnete Koeffizienten hat. Dazu dividieren wir durch $\begin{eqnarray} x^2 \neq 0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} x^2 + x + 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} = 0 \end{eqnarray}$ Mit der Substitution $\begin{eqnarray} u = x + \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ und daraus folgend $\begin{eqnarray} x^2 + \frac{1}{x^2} = u^2-2 \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} u^2 + u - 2 = 0 \end{eqnarray}$ Löse nach u (2 Lösungen) und Einsetzen in die Substitution liefert je zwei Lösungen für x. In anderem Falle (wenn offensichtlich keine andere besondere Zerlegung augenscheinlich ist) musst du eben zwei Lösungen "erraten" (vorzugsweise Teiler des absoluten Gliedes) und zweimal Polynomdivision anwenden. mY+
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18.12.2008, 14:10	mathe=0	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, ich werde wohl doch die Polynomdivision mehr üben! Besten dank

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