Satz von Rolle |
| 18.12.2008, 19:42 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Satz von Rolle Sei f und f(0)=f'(0)=f(1)=f'(1)=0. Ich soll jetzt zeigen, dass es ein x (0,1) gibt mit f'''(x)=0 |
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| 18.12.2008, 19:59 | Dual Space | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Satz von Rolle Du hast den Thread sicher nicht ohne Grund "Satz von Rolle" genannt, oder? 
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| 18.12.2008, 22:39 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
der satz von rolle sagt ja aus, dass eine funktion f die im abgeschlossenen intervall [a,b] stetig und im offenen interval (a,b) differenzierbar ist und ausserdem f(a)=f(b) erfüllt, an mindestens einer stelle aus (a,b) die ableitung null hat d.h. f'()=0 also in meinem fall haben wir ein offenes intervall (0,1). wie kann ich das beweisen kannst du mir eimige tipps geben |
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| 18.12.2008, 23:29 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum hast du ein offenes Intervall? ist doch offenbar auf definiert. Du sollst die Existenz eines aus zeigen, da taucht dann das offene Intervall auf. Aber das ist ja im Satz von Rolle genauso. |
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| 18.12.2008, 23:32 | -1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Tipp: Zeige, dass es auf (0, 1) zwei Punkte mit f''(x) = 0 gibt. |
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| 18.12.2008, 23:34 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo,
Na ja, ein bisschen mehr gibt die Aufgabenstellung schon her, oder?
Die gegebenen Daten springen einem doch geradezu ins Auge: f ist eine dreimal stetig differenzierbare Funktion. Weil aus Differenzierbarkeit ja immer Stetigkeit folgt, ist f stetig. Weil zusätzlich f(0) = f(1) gilt, kannst Du doch schonmal den Satz von Rolle anwenden. Dann geht es weiter mit den Voraussetzungen f'(0) = f'(1) = 0... |
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| 18.12.2008, 23:42 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
uch danke euch für eure tipps, aber ich weiss immernoch nicht, wie ich das hier anwenden soll 
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| 18.12.2008, 23:59 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
. Was folgt daraus mit dem Satz von Rolle für die erste Ableitung? |
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| 19.12.2008, 00:17 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das heisst das an mindestens eine stelle die ableitung null hat, also f'(1)=0 oder nicht |
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| 19.12.2008, 00:36 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was steht im Satz von Rolle über die Existenz dieser Stelle? Wo liegt die? |
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| 19.12.2008, 08:15 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
sie muss doch mindestens an einer stelle aus (0,1) liegen |
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| 19.12.2008, 09:14 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja. D. h., es gibt mindestens eine Stelle x0 im Intervall ]0; 1[, sodass f'(x0) = 0 gilt. Jetzt geht es weiter: f ist dreimal stetig differenzierbar, also ist f' stetig und differenzierbar. Außerdem gilt f'(0) = f'(x0) und f'(x0) = f'(1). Was folgt daraus? |
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| 19.12.2008, 10:34 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
daraus muss dann doch folgen, dass auch die 2. ableitung null sein muss |
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| 19.12.2008, 10:41 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Formuliere doch mal einen vollständigen Schluss, nicht nur kleine Häppchen. Wo nimmt die zweite Ableitung den Wert 0 an? |
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| 19.12.2008, 10:48 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich kann doch auch hier sagen, dass an der stelle x0 aus dem intervall (0,1) die ableitung f''(x0)=0 ist. also: f''(1)=f''(0)=f''(x0)=0 oder nicht |
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| 19.12.2008, 10:56 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist nicht richtig. Du musst doch den Satz von Rolle anwenden: f' ist stetig und differenzierbar. Es gilt f'(0) = f'(x0) mit 0 < x0. Was folgt daraus? Außerdem gilt f'(x0) = f'(1) mit x0 < 1. Was folgt daraus? |
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| 19.12.2008, 14:56 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
muss zwischen 0 und 1 liegen, damit f'()= 0 raus kommen kann |
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| 19.12.2008, 16:07 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, Du kommt nicht weiter. Also wir haben ja vorhin festgestellt, dass es eine Stelle x0 mit 0 < x0 < 1 gibt, sodass f'(x0) = 0 gilt. Die Ableitung f' ist stetig und differenzierbar, und es ist f'(0) = f'(x0). Was gilt dann nach dem Satz von Rolle für die Ableitung von f' (also f'')? Außerdem gilt ja auch f'(x0) = f'(1). Was folgt jetzt daraus? Wenn ich Dir einen Tipp geben darf: Beschäftige Dich mal ein paar Minuten am Stück mit der Aufgabe. Du bist immer nur ganz kurz online, um ein kleines „Häppchen“ aufzuschreiben, und gehst dann wieder. So kann niemand einen klaren Gedanken fassen. Also: Versuche schonmal einen Teil des Beweises selbst zu übernehmen. Wenn Du nicht den gesamten Beweis schaffst, so kannst Du ja trotzdem den Anfang machen. Ist Dir etwas unklar, dann stelle konkrete Fragen. Aber Du musst letztendlich selbst aktiv werden und kannst nicht darauf hoffen, dass man Dir alles vorkaut. |
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| 19.12.2008, 16:36 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
dann muss auch f'' auch stetig und differenzierbar sein und die 2. ableitung muss auch 0 ergeben in dem intervall (0,1) also f''()=0 muss gelten: f''(0)=f''(1)=f''( ich kann es mir anders nicht erklären |
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| 19.12.2008, 16:53 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, warum sollte das gelten? Der Satz von Rolle besagt doch Folgendes: Wenn eine Funktion f in einem Intervall [a; b] stetig und im Intervall ]a; b[ differenzierbar ist und außerdem f(a) = f(b) gilt, dann gibt es eine Stelle z in ]a; b[ mit der Eigenschaft f'(z) = 0. Jetzt wieder zur Aufgabe: Die Funktion f' ist im Intervall [0; x0] stetig und im Intervall ]0; x0[ differenzierbar, außerdem gilt f'(0) = f'(x0). Was folgt jetzt daraus für die Ableitung von f' (also f'')? Es gibt ... f' ist eine ganz normale Funktion. Man kann also auch hier den Satz von Rolle anwenden und erhält eine Aussage über die Ableitung von f' bzw. die zweite Ableitung von f. |
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| 19.12.2008, 17:07 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also wenn ich den satz von rolle wieder anwende muss es ja gelten: es gibt dann wieder eine stelle z.b g in ]0;x0[ mit der eigenschaft f''(g)=0 also: f''(x0)=f''(g) und f''(0)=f''(g) so habe ich es jetzt verstanden |
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| 19.12.2008, 17:27 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Exakt. 
Und weil ja noch f'(x0) = f'(1) gilt, kann man einen weiteren Schluss ziehen. Es gibt auch ein h ...
Nein. Ich weiß nicht, wie Du darauf kommst. Über f''(0) und f''(x0) ist überhaupt nichts bekannt, der Satz von Rolle sagt nichts über die Ableitungen an den Endpunkten des betrachteten Intervalls. |
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| 19.12.2008, 19:54 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
meinst du hochpunkt |
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| 19.12.2008, 20:20 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, mit Hochpunkten hat die Aufgabe nichts zu tun. Und nochmal die Bitte: Nicht immer nur kleine Häppchen aufschreiben -- das gilt auch für Fragen. Ich schreibe meine Überlegungen ja auch ausführlich hin und werfe Dir nicht nur ein paar Stichwörter hin. Also: f ist stetig und differenzierbar, und es gilt f(0) = f(1), also existiert im Intervall ]0; 1[ eine Stelle x0 mit f'(x0) = 0. Die Funktion f' ist stetig und differenzierbar. Es gilt, wie oben gezeigt, f'(x0) = 0, außerdem gilt nach Voraussetzung f'(0) = 0; also f'(0) = f'(x0). Daraus folgt, dass es eine Stelle a in ]0; x0[ gibt mit der Eigenschaft f''(a) = 0. Es geht aber noch weiter: In der Voraussetzung wird außerdem f'(1) = 0 festgelegt, also gilt auch f'(x0) = f'(1). Was folgt nun daraus? Es gibt eine Stelle b ... ? Einfach wieder den Satz von Rolle anwenden. Soo schwer sollte das nicht sein. ;-) Den Rest des Beweises müsstest Du jetzt selbst schaffen. |
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| 19.12.2008, 20:47 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm ok ich versuche es. Die Funktion f' ist stetig und differenzierbar. es gilt f'(x0) = 0, und es gilt noch nach Voraussetzung f'(1) = 0; also f'(1) = f'(x0). also, es gibt eine Stelle b in ]1; x0[ mit der Eigenschaft f''(b) = 0. |
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| 19.12.2008, 22:18 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hat man jetzt somit gezeigt, dass f'''(0)=0 ist?? |
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| 19.12.2008, 22:33 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kommst du darauf? Das soll (und kann) man doch gar nicht zeigen! Stell mal fest, was du jetzt für Eigenschaften hast: Was erfüllen und ? |
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| 19.12.2008, 22:54 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ne ich meinte eigentlich f'''(x)=0 also ich habe es mal versucht abzuleiten aber weiss nicht ob es richtig ist, also f''(a)= 0, f''(b)=0 wir wissen das f dreimal stetig differenzierbar ist. also f'' ist auch stetig und differenzierbar. mir ist noch nicht ganz klar wass a und b erfüllen 
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| 20.12.2008, 01:17 | Mathespezialschüler | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da steht, was und erfüllen. ist also auch differenzierbar (insbesondere stetig) auf . Außerdem gilt . Was folgt daraus, wenn du nochmal den Satz von Rolle anwendest? |
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| 20.12.2008, 02:14 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Eine kleine Korrektur noch:
Du meinst das Intervall ]x0; 1[, denn es gilt ja x0 < 1. Das Intervall ]1; x0[ wäre die leere Menge. |
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| 20.12.2008, 10:49 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Funktion f'' ist im Intervall [a; b] stetig und im Intervall ]a; b[ differenzierbar, außerdem gilt f''(a) = 0 und f''(b)=0 es folgt somit , dass es eine Stelle c in ]a,b[ gibt mit der Eigenschaft f''(c) = 0. |
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| 20.12.2008, 10:59 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
f'''(c) ist 0. Aber jetzt hast Du´s.
Du musst nur noch ganz kurz zeigen, dass 0 < c < 1. Dann ist der Beweis erledigt. |
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| 20.12.2008, 11:05 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also wir mussten ja zeigen das es ein x in (0,1) gibt mit f'''(x)=0 das haben wir ja gezeigt, kann ich jetzt schreiben: f'''(0) = f'''(c) mit 0 < c. und f'''(c) = f'''(1) mit c < 1. dann haben wir: 0<c<1 |
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| 20.12.2008, 11:26 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nee, Quatsch. Bei einem Beweis muss man doch bei den Tatsachen bleiben und darf sich nicht einfach irgendwas ausdenken. Über f'''(0) und f'''(1) ist überhaupt nichts bekannt, also kannst Du auch nicht f'''(0) = f'''(c) oder so schreiben. Ich meinte es so: c liegt ja echt zwischen a und b, also es gilt a < c < b. a wiederum liegt echt zwischen 0 und x0, ist also größer als 0. Aus c > a und a > 0 folgt c > 0. Dass c < 1 gilt, zeigst Du genauso. Wenn ich Dir noch einen Tipp für zukünftige Beweise geben darf: Bleibe bei den Fakten, also denjenigen Ausssagen, die vorausgesetzt worden sind oder bewiesen werden können. Du neigst m. E. ein bisschen zu voreiligen Schlüssen und behauptest z. T. irgendetwas, zu dem Du keine Begründung liefern kannst. Warum sollte beispielsweise f'''(0) = f'''(c) gelten? Wer sagt das? Denke daran, dass ein Beweis „logisch“ sein muss, jede Aussage muss begründet sein. |
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| 20.12.2008, 11:37 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
für c<1: c liegt zwischen a und b, also es gilt a < c < b. b liegt dann zwischen x0 und 1, ist also kleiner als 1. dann folgt aus c<b und b < 1 dass c < 1. insgesamt dann: 0<c<1 dann ist es fertig |
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| 20.12.2008, 11:41 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Geschafft.
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| 20.12.2008, 11:44 | crazyy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich danke dir mehrmals für deine hilfe und geduld. ja hast recht mit dem beweis ist es manchmal schwierig bei mir, aber ich werde mich bessern und an die voraussetzungen halten 
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