Häufungspunkte vom Sinus

18.12.2008, 19:49

chrizke

Häufungspunkte vom Sinus

Hi ich habe diese Folge hier:

$\begin{eqnarray*} a_n := sin(n) \end{eqnarray*}$

mit wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Jetzt soll ich alle Häufungspunkte angeben.
Doch ich hab nicht wirklich ne Idee, wie es gehen soll.

Ich gehe mal davon aus, dass $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ alle Häufungspunkte sind, da wir nach Bolzano-Weierstrass ja min. einen haben und es dann grade beim Sinus noch unendlich viele andere gibt.

Doch wie kann ich das korrekt zeigen?

Wir haben als Tipp die Stetigkeit bekommen, doch damit kann ich in diesem Zusammenhang hier gar nichts anfangen.

18.12.2008, 20:01

Dual Space

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RE: Häufungspunkte vom Sinus
Versuche es indirekt und nimm an es gäbe ein $\begin{eqnarray*} x_0\in[-1,1] \end{eqnarray*}$ welches kein Häufungspunkt der Folge $\begin{eqnarray*} a_n=\sin(n) \end{eqnarray*}$ ist.

Oder mach es direkt, indem du die Periodizität der Sinusfunktion nutzt um eine (triviale) Teilfolge zu konstruieren, die gegen ein gegebenes x_0 konvergiert.

18.12.2008, 20:24

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Dual Space
Oder mach es direkt, indem du die Periodizität der Sinusfunktion nutzt um eine (triviale) Teilfolge zu konstruieren, die gegen ein gegebenes x_0 konvergiert.

Wie meinst du das? Die Argumente liegen doch nur in $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , Vielfache von $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ bringen einem also nichts.

18.12.2008, 20:26

Dual Space

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Huch ... ich hatte die ganze Zeit die Funktion(!!) sin(x) im Sinn. Forum Kloppe

Dann bitte schnell wieder vergessen, was ich sagte. unglücklich

Danke MSS! Freude

18.12.2008, 20:40

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Im Prinzip reicht es, folgendes zu zeigen:

Für jedes $\begin{eqnarray*} t\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right] \end{eqnarray*}$ und jedes $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ findet man unendlich viele $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass es für jedes dieser $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} 0 < \left| n - 2k\pi - t \right| < \varepsilon \end{eqnarray*}$

ist. Im Fall $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ kann man das z.B. über die Kettenbruchzerlegung der irrationalen Zahl $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zeigen, für die anderen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ müsste das so ähnlich bzw. sogar als Folgerung gehen.

Für die Kettenbruchentwicklung einer beliebigen irrationalen reellen Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ gilt nämlich folgendes:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} \frac{p_k}{q_k} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_k,q_k\in \mathbb{Z}, q_k>0 \end{eqnarray*}$ der aus der Kettenbruchentwicklung resultierende $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ -te Näherungsbruch der irrationalen Zahl $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} 0 < |q_k\alpha - p_k| < \frac{1}{q_{k+1}} \end{eqnarray*}$

18.12.2008, 21:00

chrizke

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Hi,

stimmt es eigentlich dass alle Werte von [-1,1] Häufungspunkte sind, da dieser Intvervall aus R ja überabzählbar ist?

18.12.2008, 21:38

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Ja, es stimmt.

Dich beunruhigt vielleicht, wie eine abzählbare Folge überabzählbar viele Häufungspunkte haben kann. Aber das geht tatsächlich. Augenzwinkern

18.12.2008, 21:42

chrizke

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gibt es denn dafür noch nen anderen Beweis, außer der Kettenbruchentwicklung?

Vielleicht irgendwas, das mti Stetigkeit zu tun hat?

18.12.2008, 22:09

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Vielleicht so: Zeige als erstes, dass keine zwei Folgenglieder einander gleich sind - sollte relativ einfach machbar sein.

Dann kann man durch Argumentation a la Schubfachprinzip zeigen, dass bei Einteilung des Intervalls $\begin{eqnarray*} [0,2\pi) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gleichlange Intervalle es ein Intervall geben muss, in dem unendlich viele der Werte $\begin{eqnarray*} n\mod 2\pi \end{eqnarray*}$ liegen...

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