Hyperbolischer Pythagoras

18.12.2008, 20:42

Svenja1986

Hyperbolischer Pythagoras

Aufgabe:

Beweisen Sie bitte den hyperbolischen Pythagoras

$\begin{eqnarray*} cosh^2(z) - sinh^2(z) = 1 \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} z \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .

verwirrt

Wie kann ich das beweisen? Irgendwie fehlt mir der Ansatz.

Danke für Hilfe smile

18.12.2008, 20:44

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Möglich wäre z. B.:
-Ableiten und zeigen, dass die Ableitung konstant ist
-beliebigen Wert einsetzen

18.12.2008, 20:59

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie sind denn sinh und cosh definiert?

Cordovan

18.12.2008, 21:09

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Habt ihr das nicht gemacht?

$\begin{eqnarray*} sinh(x) = \frac{e^x-e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \end{eqnarray*}$

18.12.2008, 21:21

Cordovan

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte eigentlich Svenja1986 gemeint, aber na gut.

Dann verwende doch jetzt mal die Definition und rechne nach!

Cordovan

18.12.2008, 22:13

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Duedi
-beliebigen Wert einsetzen

Was soll das denn für ein Beweis sein?!

18.12.2008, 22:32

Duedi

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn die Funktion konstant ist, kann man doch einen beliebigen Wert einzusetzen, um einen generellen Funktionswert für alle herauszufinden. Oder liege ich da völlig falsch?

18.12.2008, 23:31

Mathespezialschüler

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, sorry. Ich dachte, das sollten zwei verschiedene Möglichkeiten sein. Mein Fehler.

19.12.2008, 17:39

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie wäre es damit? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{e^z-e^{-z}}{2} \right) - \left( \frac{e^z + e^{-z}}{2} \right) = \frac{e^{2z} + 2 + e^{-2z}}{4} - \frac{e^{2z} - 2 + e^{-2z}}{4} = \frac{2- (- 2)}{4} = 1 \end{eqnarray*}$

19.12.2008, 19:12

Zizou66

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Svenja1986
Wie wäre es damit? Augenzwinkern

An den beiden ersten Termen fehlt wohl das hoch 2, oder?

Du hast auch die beiden Terme vertauscht.
In der Aufgabenstellung steht doch

$\begin{eqnarray*} \cosh^2(z) - \sinh^2(z) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Außerdem hast du die 1. und 2. binomische Formel nicht richtig angewendet.

Was ist $\begin{eqnarray*} (e^z+e^{-z})^2\qquad \end{eqnarray*}$ ?

19.12.2008, 19:49

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Zizou66
An den beiden ersten Termen fehlt wohl das hoch 2, oder?

Ja, da war ich wohl etwas zu schnell.

Zitat:

Original von Zizou66
Du hast auch die beiden Terme vertauscht.
In der Aufgabenstellung steht doch

$\begin{eqnarray*} \cosh^2(z) - \sinh^2(z) = 1 \end{eqnarray*}$ .

Ebenfalls ja.

Zitat:

Original von Zizou66
Außerdem hast du die 1. und 2. binomische Formel nicht richtig angewendet.
Was ist $\begin{eqnarray*} (e^z+e^{-z})^2\qquad \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} (e^z+e^{-z})^2 = (e^z)^2 + 2 \cdot e^z \cdot e^{-z} + (e^{-z})^2 = e^{2z} + 2 +e^{-2z} \end{eqnarray*}$

Was ist denn daran nicht richtig? verwirrt

19.12.2008, 20:21

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Svenja1986
$\begin{eqnarray*} (e^z+e^{-z})^2 = (e^z)^2 + 2 \cdot e^z \cdot e^{-z} + (e^{-z})^2 = e^{2z} + 2 +e^{-2z} \end{eqnarray*}$

Was ist denn daran nicht richtig? verwirrt

Jetzt stimmts.

Du hattest vorher $\begin{eqnarray*} e^{2z} - 2 +e^{-2z} \end{eqnarray*}$ berechnet.

So, und jetzt nochmal, diesmal aber richtig Augenzwinkern

19.12.2008, 20:43

Svenja1986

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{e^z+e^{-z}}{2} \right)^2 - \left( \frac{e^z - e^{-z}}{2} \right)^2 = \frac{e^{2z} + 2 + e^{-2z}}{4} - \frac{e^{2z} - 2 + e^{-2z}}{4} = \frac{2- (- 2)}{4} = 1 \end{eqnarray*}$

Tanzen

19.12.2008, 20:44

Q-fLaDeN

Auf diesen Beitrag antworten »

Neue Frage »

Antworten »

Hyperbolischer Pythagoras

Verwandte Themen