Gleichung

19.12.2008, 13:54

Tomes

Gleichung

Hallo!

Ich schaffe es per du nicht, diese Gleichung nach Y aufzulösen. Ich komme nicht auf die Lösung des Lösungsbuches.

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{(R^{2}+w^{2}L^{2})Y^{2}}}{\sqrt{(R+Y)^{2}+w^{2}L^{2}}} = \frac{1}{2}\sqrt{R^{2}+w^{2}Y^{2}} \end{eqnarray*}$

Lösung laut Lösungsbuch:

$\begin{eqnarray*} Y=\frac{1}{3}(R+\sqrt{4R^{2}+3w^{2}L^{2}}) \end{eqnarray*}$

Könnt ihr mit bitte einen Tipp geben, was ich falsch machen. Bei mir kommt es zu einer Quadratischen Gleichung.

Danke

Gruß,

Tomes

19.12.2008, 14:02

klarsoweit

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RE: Gleichung

Zitat:

Original von Tomes
Bei mir kommt es zu einer Quadratischen Gleichung.

Und wie sieht diese aus?

20.12.2008, 10:28

Tomes

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Ich würde folgendes rausbekommen:

$\begin{eqnarray*} 3Y^{2}-2RY-(R^{2}+w^{2}L^{2})=0 \end{eqnarray*}$

daraus würde ich, die

1.Lösung

$\begin{eqnarray*} Y1=\frac{R}{3}+\sqrt{\frac{4R^{2}+3w^{2}L^{2}}{9}} \end{eqnarray*}$

und 2.Lösung

$\begin{eqnarray*} Y2=\frac{R}{3}-\sqrt{\frac{4R^{2}+3w^{2}L^{2}}{9}} \end{eqnarray*}$

bekommen, wenn das so stimmen würde.

20.12.2008, 12:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tomes
$\begin{eqnarray*} 3Y^{2}-2RY-(R^{2}+w^{2}L^{2})=0 \end{eqnarray*}$

Bitte poste auch die Umformungen, die dazu geführt haben.

21.12.2008, 12:45

Tomes101

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Als erstes multipliziere ich die andere Seite soweit, dass der Nenner wegfällt. Vorher quadrieren beider Terme. Danach erhalte ich folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} (R^{2}+w^{2}L^{2})((R+Y)^{2}+w^{2}L^{2})=4Y^{2}(R^{2}+w^{2}L^{2}) \end{eqnarray*}$

Die Gleichung dividiert durch $\begin{eqnarray*} (R^{2}+w^{2}L^{2}) \end{eqnarray*}$ , findet sich die neue:

$\begin{eqnarray*} (R+Y)^{2}+w^{2}L^{2}=4Y^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (R+Y)^{2} \end{eqnarray*}$ ist eine Binomische Formel und wandle ich um, damit ich weiteres erhalte:

$\begin{eqnarray*} R^{2}+2RY+Y^{2}+w^{2}L^{2}=4Y^{2} \end{eqnarray*}$

Subtrahiert man nun die beiden Terme mit $\begin{eqnarray*} -(R^{2}+2RY+Y^{2}+w^{2}L^{2}) \end{eqnarray*}$ , bekommt man die Form:

$\begin{eqnarray*} 3Y^{2}-2RY-(R^{2}+w^{2}L^{2})=0 \end{eqnarray*}$

Dividiert durch 3 entsteht:

$\begin{eqnarray*} Y^{2}-\frac{2RY}{3}-\frac{R^{2}+w^{2}L^{2}}{3}=0 \end{eqnarray*}$

Durch das Einsetzen in die kleine Lösungsformel bringt mir die vom vorigen Thread genannten Lösungen.

Gruß,

Dominik

21.12.2008, 13:44

klarsoweit

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Das:

Zitat:

Original von Tomes101
Als erstes multipliziere ich die andere Seite soweit, dass der Nenner wegfällt. Vorher quadrieren beider Terme. Danach erhalte ich folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} (R^{2}+w^{2}L^{2})((R+Y)^{2}+w^{2}L^{2})=4Y^{2}(R^{2}+w^{2}L^{2}) \end{eqnarray*}$

und das:

Zitat:

Original von Tomes
$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{(R^{2}+w^{2}L^{2})Y^{2}}}{\sqrt{(R+Y)^{2}+w^{2}L^{2}}} = \frac{1}{2}\sqrt{R^{2}+w^{2}Y^{2}} \end{eqnarray*}$

passen nicht zusammen. Es sollte wohl $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{(R^{2}+w^{2}L^{2})Y^{2}}}{\sqrt{(R+Y)^{2}+w^{2}L^{2}}} = \frac{1}{2}\sqrt{R^{2}+w^{2}L^{2}} \end{eqnarray*}$ heißen.

Schreibe in der ersten Lösung $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4R^2+3w^2L^2}{9}} = \frac 1 3 \cdot \sqrt{4R^2+3w^2L^2} \end{eqnarray*}$ und klammere 1/3 aus.

21.12.2008, 18:40

Tomes101

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Sry, ja genau, da habe ich mich verschrieben.

Danke für den Hinweis, nun ist es mir klar.

Der Fehler war das Übersehen der Anwendung des Distributivgesetzes.

Die Korrektur wäre das Anwenden der Regel bei diesem Term:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{4R^{2}+3w^{2}L^{2}}{9}}\Rightarrow \frac{1}{3}\sqrt{4R^{2}+3w^{2}L^{2}} \end{eqnarray*}$

und bei diesem Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \frac{R}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{4R^{2}+3w^{2}L^{2}}\Rightarrow\frac{1}{3}(R+\sqrt{4R^{2}+3w^{2}L^{2}}) \end{eqnarray*}$

Kann man den Fehler so annehmen oder?

22.12.2008, 08:25

klarsoweit

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Zitat:

Original von Tomes101
Kann man den Fehler so annehmen oder?

Welchen Fehler?

Noch ein Tipp: Der "Rechtspfeil" (auch Implikation genannt) wird nur zwischen Aussagen gesetzt, nicht aber zwischen Ausdrücken. Richtig wäre da also ein Gleichheitszeichen. Augenzwinkern

22.12.2008, 08:59

Tomes101

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Stimmt eigentlich, Fehler war ja keiner mehr dabei. Ich dachte an die Hürde, die mich nicht zum Ergebnis im Lösungsbuch gerbacht hatte.

Eigentlich wollte ich den "ist gleichwertig" Pfeil verwenden, der mir angibt, dass ich von einem Ausdruck zum anderen komme, aber den habe ich leider nicht gefunden.Darum nahm ich den "daraus folgt" Pfeil. Der ist wohl nicht ganz richtig.
Werde beim nächsten mal darauf achten.

22.12.2008, 09:08

klarsoweit

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Auch der "Gleichwertig-Pfeil" (Äquivalenzpfeil) wäre nicht richtig, da auch dieser nur zwischen Aussagen steht. smile

22.12.2008, 09:23

Tomes101

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. Im Abendkurs lernten wir, dass der "Gleichwertig-Pfeil" zwischen zwei Gleichungen steht, die durch Äquivalenzumformung miteinander in Verbindung stehen.

22.12.2008, 09:47

klarsoweit

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Zwischen Gleichungen ist der "Gleichwertig-Pfeil" richtig aufgehoben, aber nicht zwischen Ausdrücken.

22.12.2008, 10:03

Tomes101

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Was ist der Untschied zwischen Ausdruck und Aussage in der Mathematik?
(Ich hoffe, ich bin noch nicht lästig).
Bei Aussagen wird der Implikations-Pfeil und Gleichwertig-Pfeil verwendet, bei Ausdrücken nicht. Ich habe in meinem Anfangsthread oft mit den Wörtern gespielt, da mir noch nicht bewusst war, das sie eine andere Bedeutung in der Mathematik haben.

22.12.2008, 10:32

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Das ist ein Ausdruck: x+4
und das eine Aussage: x + 4 = 9 oder das: (a+b)² = a² + 2ab + b²

22.12.2008, 11:51

Tomes101

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Ah, vielen dank, jetzt ist mir das verständlich.

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