Kurvendiskussion und Kreisgleichung

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Sonnenblume2401 Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Hallo an alle!

Kònnt Ihr mir bitte bei folgender Aufgabe helfen?

Man schreibe die Gleichung des Kreises, der die drei Kurvenàste der Funktion
y = (1+x^2)/(1-x^2), berùhrt!

Die Funktion habe ich bereits untersucht... Sie hat 3 Asymptoten mit den Gleichungen: x = 1, x = -1 und y = -1... Weiters hat sie im Punkt (0,1) ein relatives Minimum und keine Nullstellen... Sie ist symmetrisch bezùglich der y-Achse.

Ich mùsste also "nur" die Mittelpunktskoordinaten und den Radius des Kreises berechnen!

Danke an alle, die mir weiterhelfen kònnen!
Astor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Die Kurve ist offenbar richtig.
Der Mittelpunkt liegt dann ja auch auf der y-Achse. Mittelpunkt M(0/a). Aber das weißt Du bestimmt auch schon.
Radius r = 1-a ?
Astor
 
 
Sonnenblume2401 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Jaja soweit bin ich auch schon... Soweit ich die Frage verstanden habe muss ich aber auch a berechnen, d.h. fùr den Radius und fùr die y-Koordinate brauche ich eine konkrete Zahl...
Ich glaube man muss die 1.Ableitung berechnen der Funktion berechnen, fùr die Steigung der gemeinsamen Tangente...
Nur habe ich viel zu viele Unbekannte...
Danke fùr deine Hilfe
Astor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Der Kreis berührt den Graphen ja im Tiefpunkt T(0/1).
Die weiteren Berührpunkte liegen auf den beiden Ästen unterhalb der waagerechten Asymptote. Diese Berührpunkte liegen symmetrisch zur y-Achse. B(x/f(x)). Dennoch mit der Abstandsberechnung Mittelpunkt zu Berührpunkt erhält man eine Gleichnung mit zwei Unbekannten.
Astor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Die Ableitung ist f'(x)=4*x/(1-x^2)^2. f'(x) ist hier für positive x positiv. für negative x istf' negativ. Aber das ist wohl nicht die weiterführende Idee
Astor
Sonnenblume2401 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Aber ich kenne die 2 Berùhrungspunkte auf den unteren beiden Kurvenàste ja nicht...
Astor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Stellt man die Gleichung des Kreises auf. Mittelpunkt M(0/a); Radius r=1-a. Diese Gleichung nach y auflösen und dann mit f(x) gleichsetzen. Man betrachtet x>1. Also den rechten Ast des Graphen. Diese Gleichung kann zwei, eine oder keine Lösung haben. Dies erkennt man an der Anschauuung. Genau dann, wenn es nur eine Lösung gibt hat man den Berührpunkt erwischt. Sollte der Mühe Wert sein.
Gruß Astor
Sonnenblume2401 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Also wenn ich richtig verstanden habe:

Kreisgleichung: (y-a)^2+x^2=(1-a)^2
Funtionsgleichung: y=(1+x^2)/(1-x^2)

Also setze ich y in die Kreisgleichung ein!
Aber wie kann ich die Gleichung mit 2 Unbekannten x und a lòsen?
Astor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Im Berührpunkt B sind f'(x) des Graphen und die Steigung der Kreislinie gleich. Wir betrachten dies für x>1 und y<a. Setzt man diese Abelitungen gleich, so dürfte die entstehende Gleichung beherrschbar sein.
Astor
Sonnenblume2401 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Hmmm... und wie berechnet man die Steigung des Kreises?
Astor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Weiß im Augenblick auch nicht weiter. Tut mir leid.
Astor
Sonnenblume2401 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Danke trotzdem...

Zeichnerisch habe ich folgendes herausbekommen:

Kreisgleichung: (y+1)^2+x^2=4 d.h. M(0,-1) und r=2
Berùhrungspunkte: (0,-1), (3^0.5, -2) und (-3^0.5, -2)

Vielleicht hilft die Lòsung ja weiter...
Astor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Ich habe eine neue Idee gefunden. Der Berührpunkt habe die Koordinaten B(b/f(b)).
Der Radius des Kreises beginnt im Mittelpunkt M(0/a) und steht auf der Tangente senkrecht. Die Tangente hat die Steigung f'(b)==4b/(1-b^2)^2. Überprüfen!
Dann hat man von der Radiusgeraden einen Punkt M und die Steigung mRadius=-1/f'(b)=-(1-b^2)^2/(4b). Diese Gerade schneidet den Graphen im Berührpunkt B.
Astor Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Das ist auf jedenfall besser als meine Idee.
Die Koordinaten des ersten Berührpunktes sind wohl B(0/1). Die zeichnerische Lösung sollte man wohl wenigstens rechnerisch überprüfen.
Gruß Astor
Sonnenblume2401 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion und Kreisgleichung
Ja natùrlich B(0,1)...

Das Problem ist dass ich die Lòsung auch rechnerisch FINDEN muss :-(

Auch mit der Idee die Ableitungen gleichzusetzen komme ich nicht weiter, da ich immer noch a als Unbekannte habe...
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