Fourierkoeffizienten (Riemannsches Lemma)

19.12.2008, 23:11

tigerbine

Fourierkoeffizienten (Riemannsches Lemma)

Hallöchen,

Es sind die Fourierkoeffizienten für stetiges f wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} c_j:=\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}~f(x) \exp(-i\cdot jx) \end{eqnarray*}$

Es soll nun gezeigt werden, dass die Folge der Koeffizienten eine Nullfolge ist.

Wer kann mir einen Schubs in die Richtige Richtung geben? Sollte man aufspalten und über reelle Koeffizienten gehen?

Wink

20.12.2008, 11:05

Leopold

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Da mich der Index $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ im Zusammenhang mit komplexen Zahlen etwas irritiert, schreibe ich dafür $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ . Schauen wir uns einmal den Realteil an:

$\begin{eqnarray*} a_{\nu} = \int_0^{2 \pi} f(x) \cos(\nu x)~\dd x \end{eqnarray*}$

Ich stelle eine heuristische Überlegung an: Die Funktion $\begin{eqnarray*} x \mapsto \cos(\nu x) \end{eqnarray*}$ hat die Periode $\begin{eqnarray*} \frac{2 \pi}{\nu} \end{eqnarray*}$ , wiederholt sich also $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$ -mal im Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} \nu \approx \infty \end{eqnarray*}$ heben sich die orientierten Flächen zwischen benachbarten Bergen und Tälern des Graphen von $\begin{eqnarray*} x \mapsto f(x) \cos(\nu x) \end{eqnarray*}$ gegenseitig nahezu weg, denn als stetige Funktion ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Unendlich-Kleinen quasi konstant. Also ist $\begin{eqnarray*} a_{\nu} \approx 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \nu \approx \infty \end{eqnarray*}$ .

Ob sich dieses heuristische Programm zu einem ordentlichen Beweis umgestalten läßt, weiß ich nicht. Ich würde aber, mit dieser Idee im Hintergrund, versuchen, die Summe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2 \pi} \int_0^{2 \pi} f(x) \cos(\nu x)~\dd x = \frac{1}{2 \pi} \sum_{k=1}^{\nu} \int_{(k-1) \cdot \frac{2 \pi}{\nu}}^{k \cdot \frac{2 \pi}{\nu}} f(x) \cos(\nu x)~\dd x \end{eqnarray*}$

durch Übergang zu den Beträgen abzuschätzen. Und analog dann mit dem Imaginärteil. Möglicherweise geht es auch in einem, indem man gleich

$\begin{eqnarray*} c_{\nu} = \frac{1}{2 \pi} \sum_{k=1}^{\nu} \int_{(k-1) \cdot \frac{2 \pi}{\nu}}^{k \cdot \frac{2 \pi}{\nu}} f(x) \operatorname{e}^{- \operatorname{i} \nu x}~\dd x \end{eqnarray*}$

durch eine Nullfolge majorisiert.

20.12.2008, 14:14

tigerbine

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Hallo Leopold,

Integrale sind nicht gerade das, was mein Herz höher schlagen lässt. Ups

Eine weitere Recherche hat ergeben, dass der Weg über das Reelle wohl unter dem Namen "Riemannsches Lemma" bekannt ist. Hast du da in deiner Literatur vielleicht einen Beweis zu?

Vielen Dank schon mal für deine Antwort
Wink

edit: Ein kleiner link RL, vielleicht können wir die drei Schritte (mit Zwischenschritten ja machen)

20.12.2008, 16:03

Abakus

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Also wenn du die Bessel'sche Ungleichung für Fourierkoeffizienten hättest, folgt es daraus sofort:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 2 \cdot a_0^2 + \sum_{i=1}^{n} (a_i^2 + b_i^2) \le \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2~ dx \end{eqnarray*}$

(hier für reelle Fourierkoeffizienten und entsprechend verschobenes Integrationsintervall hingeschrieben; interessant ist hier, dass f integrierbar für diese Ungleichung schon ausreicht)

Grüße Abakus smile

20.12.2008, 16:40

tigerbine

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Hallo Abakus,

danke, aber nun stehe ich wohl auf dem zweiten Schlauch. Es müßte doch dann die rechte Seite 0 sein, oder? Also damit die Linke 0 ist. Aber warum ist das der Fall? verwirrt

20.12.2008, 21:15

Abakus

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Zitat:

Original von tigerbine
Es müßte doch dann die rechte Seite 0 sein, oder? Also damit die Linke 0 ist. Aber warum ist das der Fall? verwirrt

Die rechte Seite ist obere Schranke für den Reihenanfang (bzw. im Grenzfall für die ganze Reihe) links. Wenn die Reihe links aber konvergent ist (sie ist ja monoton und beschränkt), bilden die einzelnen Summanden eine Nullfolge. Wenn nun $\begin{eqnarray*} (a_n^2 + b_n^2) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, dann gilt letztendlich auch das, was du möchtest.

Die jeweiligen Fourierkoeffizienten sind iA nicht Null, sondern bilden nur Nullfolgen; d.h. die linke Seite muss nicht Null werden.

Grüße Abakus smile

20.12.2008, 22:26

tigerbine

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Aso. Auf der rechten Seite steht im Grunde eine Konstante. Die Ungleichung gilt für alle n und es stehen links nur positive Summenden. Daher konvergiert die Reihe und dafür ist es ja notwendig, dass $\begin{eqnarray*} (a_n^2 + b_n^2) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, was wegen dem ()² Nur dann der Fall ist, wenn a_n und b_n Nullfolgen sind. Ok?

Die Besselsche Ungleichung ist schon was bekanntes, oder? Da will ich mal nicht von meiner Unwissenheit auf andere schließen.

Welche Bedeutung hat nun die gezeigte Aussage? Dass in der Fourrierreihe die Summanden mit höherem k immer weniger zum Berechnenden Wert beitragen? sprich wenn man eine Funktion approximieren will, ist es ein Vertretbarer Ansatz statt der Reihe eine Partialsumme zu nehmen?

21.12.2008, 00:28

Abakus

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Zitat:

Original von tigerbine
Aso. Auf der rechten Seite steht im Grunde eine Konstante. Die Ungleichung gilt für alle n und es stehen links nur positive Summenden. Daher konvergiert die Reihe und dafür ist es ja notwendig, dass $\begin{eqnarray*} (a_n^2 + b_n^2) \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge ist, was wegen dem ()² Nur dann der Fall ist, wenn a_n und b_n Nullfolgen sind. Ok?

Ok, ja

Zitat:

Die Besselsche Ungleichung ist schon was bekanntes, oder? Da will ich mal nicht von meiner Unwissenheit auf andere schließen.

Hier ist sie in der Form Bessel'sche Ungleichung für Fourierkoeffizienten schon etwas spezieller.

Zitat:

Welche Bedeutung hat nun die gezeigte Aussage? Dass in der Fourrierreihe die Summanden mit höherem k immer weniger zum Berechnenden Wert beitragen? sprich wenn man eine Funktion approximieren will, ist es ein Vertretbarer Ansatz statt der Reihe eine Partialsumme zu nehmen?

Gute Frage. Solange f Sprünge hat, schießt die Fourierreihe immer über bzw. unter (Gibbs-Phänomen). Hier ist die Konvergenz lokal also irgendwie immer schlecht. Besser wird es, wenn du die k-fache stetige Differenzierbarkeit von f forderst oder hast (bei Stetigkeit hast du schon mal eine eindeutige Grenzfunktion; bei stetiger Differenzierbarkeit ist die Konvergenz in jedem Fall gleichmäßig).

Ansonsten hast du als Konvergenz allgemein die Konvergenz im quadratischen Mittel gegen $\begin{eqnarray*} f \in L^2 \end{eqnarray*}$ . Die n-te Partialsumme ist zumindest in dem Sinne optimal, dass du keine anderen Koeffizienten für das trig. Polynom findest, um f im quadratischen Mittel besser zu approximieren (was über den Approximationsfehler allerdings noch wenig aussagt).

Grüße Abakus smile

21.12.2008, 00:39

tigerbine

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Ok, aber zumindest hat das Ding einen Namen und man kann sich darauf beziehen. Augenzwinkern

Da die Frage auf einem Numerik-Blatt auftauchte, würde ich dann für weiteres vermuten, dass es auf die Bedeutung ankommt (einmal sollte die Nullfolge eben bewiesen werden).

Ok, lassen wir Gibbs mal außen vor und bleiben bei dem Fall, wo die Reihe theoretisch gegen die Funktion konvergiert. Hier wäre bei hohem k auch die Frage, wie viel Nutzen weitere Koeffizienten noch bringen und ob sich durch Rechenungenigkeit sogar Verschlechterungen eintreten.

Ich danke erstmal so weit recht herzlich.

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