Stetigkeit, Epsilon-Delta

20.12.2008, 13:49

Anne-Kathrin

Stetigkeit, Epsilon-Delta

Hallo, ich führe Mal vor wie wir in der Übung gezeigt haben, wie man die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ mittels Epsilon-Delta Kriterium zeigt.

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)|=|x^3-a^3|=|(x-a)^3+3ax(x-a)|=|x-a||(x-a)^2+3ax| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|x-a||(x-a)^2+3a(x-a+a)|=|x-a||(x-a)^2+3a(x-a)+3a^2)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \leq |x-a|((x-a)^2+3a|x-a|+3a^2))<\delta(\delta^2+3a\delta +3a^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\delta^3+3a\delta^2+3a^2\delta \end{eqnarray*}$

Jetzt hat er die drei Terme so gewählt, dass jeder der Terme kleiner als $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray*}$ ist.

Jetzt verstehe ich nicht wieso er es so schafft:
Er wählt: $\begin{eqnarray*} \delta:=\min(\delta^3,3a\delta^2,3a^2\delta) \end{eqnarray*}$

Und jetzt verstehe ich nicht wieso jeder der Terme kleiner $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray*}$ ist und wir das als unser $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ wählen dürfen.

Könnte das jemand ein wenig erläutern?
Das wäre sehr lieb und würde mich ein großes Stück weiter bringen.

Danke

Hatte das Gestern ausversehen in Schulmathe gepostet und auch angemerkt dass das in Hochschulmathe gehört, aber bislang wurde es nicht verschoben. Daher glaube ich dass hier die richtigen reinschauen um mir zu helfen.

20.12.2008, 14:24

Astor

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RE: Stetigkeit, Epsilon-Delta
Hallo,
er wählt das delta so, dass jeder der 3 Summanden kleiner als 1/3 Epsilon wird.
Dann ist die Summe insgesamt kleiner als epsilon
Astor

20.12.2008, 14:37

Anne-Kathrin

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RE: Stetigkeit, Epsilon-Delta
Ja gerade dass verstehe ich nicht.
Es kann sein dass ich mich mit dem Minimumbegriff so schwer tu.

Aufjedenfall kann ich das nicht ganz nachvollziehen.
Warum bedeutet: $\begin{eqnarray*} \delta:=\min(\delta^3,3a\delta^2,3a\delta) \end{eqnarray*}$ , dass jedes der Terme $\begin{eqnarray*} <\frac{\epsilon}{3} \end{eqnarray*}$ . Kann mir das jemand versuchen zu erklären.
Es ist dieser kleine Schritt den ich nur verstehen muss, ich habe leider die Angewohnheit alles verstehen zu wollen.

20.12.2008, 15:06

Soz.Päd.

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Guten Tag,

ich würde die Aufgabe etwas umformulieren - ich hoffe, dass es so gemeint ist.

Wenn euere Ungleichung klar ist, können ja jeweils:
Delta1' (d1') > 0, Delta2' (d2') > 0 und Delta3' (d3') > 0
so bestimmt werden, dass gilt:
1. (d1')^3 < e/3
2. 3*a*(d2'^2) < e/3
3. 2*(a^2) * (d3') < e/3

Wenn nun Delta (d) := min(d1', d2', d3') ist, gilt ja auch, da:
d <= d1', d <= d2', d <= d3'

1. (d)^3 < e/3
2. 3*a*(d^2) < e/3
3. 2*(a^2) * (d) < e/3

Insgesamt gilt im Punkt "a" für dieses d > 0 also:
Für alle x e D (= Definitionsbereich) mit
Betrag (x - a) < d
folgt
Betrag (x^3 - a^3) < e/3 + e/3 + e/3

Die Kunst beim Nachweis der Stetigkeit in einem Punkt a ist:
Zu jedem e > 0 kann ein d > 0 bestimmt werden, so dass für
alle x e D (Definitionsbereich) gilt:
aus Betrag (x - a) < d folgt:
Betrag (f(x) - f(a)) < e.

Durch obige Rechnung wurde ein Verfahren für einen beliebigen Punkt "a" definiert, wie zu jedem e > 0 ein solches d > 0 gefunden werden kann. Da dies also für jeden Punkt des Definitionsbereiches so gemacht werden kann, ist die Funktion auf dem ganzen Definitionsbereich stetig.

Gruß
Soz.Päd.

20.12.2008, 16:42

Anne-Kathrin

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Ok, ich denke ich habe es soweit verstanden und möchte testen ob ich das auch anwenden kann.

Und zwar möchte ich die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ überprüfen.

$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(a)|=|x^2-a^2|=|(x-a)(x+a)|=|(x-a)(x-a+2a)| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =|(x-a)^2+2a(x-a)|\leq |(x-a)^2|+|2a(x-a)|<\delta^2+2|a|\delta \end{eqnarray*}$

Jetzt wäre es geschickt die beiden Terme so zu wählen, dass sie kleiner $\begin{eqnarray*} \frac{\epsilon}{2} \end{eqnarray*}$ sind.

Kann ich jetzt einfach sagen:

Sei $\begin{eqnarray*} \delta:=\min(\delta^2,2|a|\delta) \end{eqnarray*}$

Über Verbesserungsvorschläge würde ich mich freuen.

20.12.2008, 17:13

axelt

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Also ich hätte mit deinem Ansatz folgende Lösung (würde mich aber nicht drauf verlassen bin auch nicht gerade nen Pro^^)

$\begin{eqnarray*} \delta=\text{min}\left\{ \frac{\epsilon}{4x_0}, \sqrt{\frac{\epsilon}{2}}\right\} \end{eqnarray*}$

Das sollten geschweifte Klammern sein aber wusst nicht wo ich die herbekomme.

Wichtig ist ja noch das das Delta von Epsilon abhängt und nicht wie bei dir von sich selbst. Also ich habe das dann so gemacht das ich jeweils die beiden Summanden als Ungleichung mit kleiner gleich Epsilon/2 gelöst habe.

edit: Danke für den Klammerhinweis ;-)

20.12.2008, 17:29

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von axelt
Das sollten geschweifte Klammern sein aber wusst nicht wo ich die herbekomme.

$\begin{eqnarray*} \{ 123 \} \end{eqnarray*}$

code:
1:	[latex]\{ 123 \}[/latex]

20.12.2008, 17:44

Anne-Kathrin

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Achso, ich verstehe. Kann das denn noch jemand bestätigen, weil sich axelt auch nicht so hundertprozentig sicher ist.

Nichtsdestotrotz habe ich hier eine weitere Aufgabe:

Die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{1}{x}-\frac{1}{a}\right|=\left|\frac{x-a}{ax}\right|=\left|\frac{x-a}{a(x-a+a)}\right|=\left|\frac{x-a}{a(x-a)+a^2}\right|<\frac{\delta}{a\delta+a^2} \end{eqnarray*}$

Kann ich hieraus eigentlich schon folgern, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ nicht stetig ist?

Naja weiter gehts:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{\delta}{a\delta+a^2}<\epsilon \end{eqnarray*}$

1. Fall: $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \delta <\epsilon (a\delta +a^2)\Rightarrow \delta < \frac{a^2}{1-\epsilon a} \end{eqnarray*}$

2. Fall: $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \delta >\epsilon (a\delta +a^2)\Rightarrow \delta > \frac{a^2}{1-\epsilon a} \end{eqnarray*}$

Ist das bis hierhin ok?
Wie muss ich denn jetzt das Delta Wählen?
$\begin{eqnarray*} \delta:=\frac{a^2}{1-\epsilon a} \end{eqnarray*}$

Danke

20.12.2008, 18:25

axelt

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Also um Unstetigkeit zu wählen schreib dir am besten erstmal die Definition der Stetigkeit mit ausschließlich Quantoren auf, dann negiere die. Dann wird du feststellen das da ja steht "Es existiert ein Epsilon...". Also musst du ein konkretes Epsilon angeben und zeigen das du Delta nicht so wählen kannst das f(x)-f(x0) immer kleiner diesem Epsilon ist.

Und wo mich das ganze auch interessiert mal direkt nachgefragt:

$\begin{eqnarray*} \mid \frac{1}{x} -\frac{1}{x_0}\mid= \mid \frac{x-x_0}{x \cdot x_0}\mid=\mid \frac{\delta}{x \cdot x_0}\mid \end{eqnarray*}$

Dann wähle ich mir z.B. $\begin{eqnarray*} \epsilon = 1 \end{eqnarray*}$

Und habe die Aussage

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_0} \cdot \frac {\delta}{x}\geq 1 \end{eqnarray*}$

Die ja für x0 --> 0 wahr ist, weil der erste Bruch beliebig groß wird. Jetzt frag ich mich aber ob man das so machen kann weil man ja eigentlich x0 einsetzen müsste und das geht ja eben hier nicht. In diesem Fall würde ich also $\begin{eqnarray*} \delta = x \end{eqnarray*}$ wählen.

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