Holomorphie Problem

20.12.2008, 14:42

The_Unknown

Holomorphie Problem

Hallo,

ich sitze grade an einer Aufgabe, bei der ich sagen soll, für welche Werte von z die Funktion f=(z*)^2 (z* bedeutet konjugiert komplex) differenzierbar und für welche Werte von z sie holomorph ist.

Nun, ich habe das mit dem Cauchy-Riemann-Kriterium gemacht und bin zu den Aussagen:
I) u_x=2x=-2x=v_y
II) u_y=-v_x=2y=-2y
gekommen.
Beide gelten nur für x,y=0 somit für z=0 und somit ist f für z=0 diff-bar und auch holomorph in z.

In der Lösung steht aber, sie sei nirgends holomorph. Warum ??

Ciao The_Unknown

20.12.2008, 16:21

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Lies nochmal genau nach:

Holomorphie nur in einem isolierten Punkt gibt es nicht - für Holomorphie brauchst du eine (wenn auch noch so kleine) Umgebung, wo komplexe Differenzierbarkeit herrscht, und die gibt es hier nicht.

20.12.2008, 17:50

The_Unknown

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Ach so, du meinst, dass Differenzierbarkeit ist punktweise und Holomorphie nur für eine offene Menge definiert ? Sprich differenzierbar kann eine Funktion in einem Punkt z sein und holomorph nur in Intervallen wie (0,1), nicht aber in (0,1], da (0,1] nicht offen ist, weil ein Element "auf dem Rand" liegt. Das müsste so eigentlich stimmen.

Könnte man sich als Eselsbrücke merken, dass Differenzierbarkeit punktweise Holomophie ist ?

Und dann nochmal eine andere Frage. Wenn ich eine komplexe Funktion habe, beispielsweise f(z) = x³x² + ix²y³ und soll ich ermitteln, ob sie auf ganz C diff-bar ist (und falls nicht, *wo* sie diff-bar ist). Da hab ich noch Probleme. Ich könnte ja einfach das Holomophie-Kriterium heranziehen, da ja C ein offenes Interval ist. Nur würde ich da net herausfinden, so denn f nicht holomoph ist, wo die Funktion diff-bar ist.

21.12.2008, 17:22

system-agent

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Zitat:

Original von The_Unknown
Sprich differenzierbar kann eine Funktion in einem Punkt z sein und holomorph nur in Intervallen wie (0,1), nicht aber in (0,1], da (0,1] nicht offen ist, weil ein Element "auf dem Rand" liegt. Das müsste so eigentlich stimmen.

Das ist alles äusserst schwammig, nicht zuletzt weil es im Komplexen zunächst mal keine Intervalle gibt.

Aber es ist durchaus wahr, dass die komplexe Differenzierbarkeit nur für einen einzelnen Punkt definiert ist, das heisst eine Funktion kann in einem Punkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar sein - oder eben nicht.
Die Funktion heisst in $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ holomorph, falls man eine Ungebung $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ finden kann so, dass die Funktion für alle Punkte $\begin{eqnarray*} z\in U \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist.

Sprich: eine Funktion kann niemals an einem isolierten Punkt holomorph sein.

Zitat:

Original von The_Unknown
Und dann nochmal eine andere Frage. Wenn ich eine komplexe Funktion habe, beispielsweise f(z) = x³x² + ix²y³ und soll ich ermitteln, ob sie auf ganz C diff-bar ist (und falls nicht, *wo* sie diff-bar ist). Da hab ich noch Probleme. Ich könnte ja einfach das Holomophie-Kriterium heranziehen, da ja C ein offenes Interval ist. Nur würde ich da net herausfinden, so denn f nicht holomoph ist, wo die Funktion diff-bar ist.

Das stimmt alles nicht.
Die Frage ist wo $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar ist und nicht wo es holomorph ist. Wie gesagt, die beiden Dinge sind durchaus verschieden !
Du machst es in diesem Beispiel genauso wie in deinem ersten Beispiel:
Nutze die Cauchy-Riemann Gleichungen. Genau dort wo sie erfüllt sind, in diesen Punkten ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar.

Was noch falsch ist: $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ist überhaupt kein offenes Intervall oder etwas dergleichen. Man kann sich $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ als Ebene vorstellen, siehe dazu "Gauss'sche Zahlenebene".

22.12.2008, 12:37

The_Unknown

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Mhm, mir fehlt etwas das Verständnis, wo der Unterschied zwischen Differenzierbar in einem Gebiet und holomoph in einem Gebiet sein soll.

Das Cauchy-Riemann-Krit. ist ja ein Kriterium zum Nachweis von Holomophie und doch kann man damit Differenzierbarkeit in einem *Interval* zeigen ?

Ich würde nochmal gerne zur o.g. Aufgabe zurück. Angenommen, die Lösung hätte ergeben, dass f bei den komplexen Zahlen z=0 und z=1, also der Menge {z|Im(z) und [ Re(z)=0 oder Re(z)=1 ]}, differenzierbar sind, wäre f dann in dieser Menge (diesem *Gebiet*) auch holomoph ?

22.12.2008, 13:06

Leopold

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Wenn du "Gebiet" nicht einen schwammigen umgangssprachlichen Sinn gibst, sondern den Sinn, den es in der Funktionentheorie hat, nämlich zusammenhängende offene Menge, dann ist in der Tat "f ist im Gebiet komplex differenzierbar" und "f ist im Gebiet holomorph" dasselbe. Sogar auf den Zusammenhang kannst du verzichten. In offenen Mengen ist zwischen komplexer Differenzierbarkeit und Holomorphie kein Unterschied. Der Unterschied macht sich erst bei der punktweisen Betrachtung bemerkbar. Ist eine Funktion an einer Stelle $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar, aber nicht in einer vollen Umgebung von $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ , so ist die Funktion bei $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ nicht holomorph.

Deine Probleme scheinen mir in der Topologie zu liegen. Informiere dich über Begriffe wie "offene Menge", "zusammenhängende Menge", "isolierter Punkt" - das Ganze natürlich in der Gaußschen Zahlenebene $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Stelle dir fürs erste ein Gebiet wie eine verbogene Kreisfläche ohne ihren Rand vor. Das ist also etwas Zweidimensionales. Und die Sache mit dem "Intervall" vergißt du hier am besten ganz schnell, auch nicht in Anführungszeichen.

22.12.2008, 13:19

The_Unknown

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Alles klar. Jetzt hab ichs verstanden. Eine offene Menge ist ja nicht eindimensional zu betrachten.

Vielen vielen Dank !

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