absolute Konvergenz - Seite 2

RE: absolute Konvergenz
darf ich dann mein a_v einfach in die formel des quotientenkriteriums einsetzten? aber was ich dann damit anfangen kann weiß ich auch nicht.

30.12.2008, 08:36

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RE: absolute Konvergenz
Ja, du darfst das a_v einfach in die Formel des Quotientenkriteriums einsetzen. Dafür ist die Formel ja schließlich da. Beachte aber, daß im Zähler der Formel $\begin{eqnarray*} a_{v+1} \end{eqnarray*}$ steht. Danach einfach rechnen und den Grenzwert für v gegen unendlich bestimmen.

30.12.2008, 11:05

imag

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RE: absolute Konvergenz
dann hätte ich ja:
$\begin{eqnarray*} |\frac{{k+v+1 \choose k}\cdot z^{v+1}}{{k+v \choose k}\cdot z^v}| \end{eqnarray*}$
nur wie rechne ich jetzt damit? Hab da bei Binomialquotienten immer so meine probleme.

30.12.2008, 11:13

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RE: absolute Konvergenz
Die z-Potenzen kannst du weitestgehend kürzen. Und die Binomialkoeffizienten kannst du in die Fakultät-Schreibweise umformen.

30.12.2008, 11:46

imag

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RE: absolute Konvergenz
dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{(k+v+1)!\cdot v!}{(v+1)!(k+v)!}\cdot |z| \end{eqnarray*}$

30.12.2008, 11:50

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RE: absolute Konvergenz
OK. Bei den Fakultäten kannst du jetzt etliches kürzen. Und bitte das z in Betragsstriche setzen.

30.12.2008, 12:35

imag

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RE: absolute Konvergenz
wie darf ich denn da kürzen?was ich kürzen darf und was nicht.

30.12.2008, 12:47

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RE: absolute Konvergenz
Grundkenntnisse der Fakultäten sind an einer Hochschule unerläßlich. Lehrer

Allgemein gilt: (n + 1)! = (n + 1) * n!

30.12.2008, 12:57

imag

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RE: absolute Konvergenz
dann habe ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{(k+v+1)!\cdot v!}{(v+1)\cdot v!\cdot (k+v)!}\cdot |z|=\frac{(k+v+1)!}{(v+1)\cdot (k+v)!}\cdot |z| \end{eqnarray*}$
darf ich für
$\begin{eqnarray*} (k+v+1)!=k!\cdot (k+v+1) \end{eqnarray*}$ ??

30.12.2008, 13:06

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RE: absolute Konvergenz

Zitat:

Original von imag
darf ich für
$\begin{eqnarray*} (k+v+1)!=k!\cdot (k+v+1) \end{eqnarray*}$ ??

Nein, aber etwas ähnliches. Schau dir das nochmal genau an.

30.12.2008, 13:18

imag

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RE: absolute Konvergenz
darf ich für (k+v+1)! =(k+v)!+1!=(k+v)!+1 schreiben??

30.12.2008, 13:22

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RE: absolute Konvergenz
unglücklich

Du mußt nicht Regeln neu erfinden, sondern lediglich bestehende Regeln richtig anwenden. Ist das denn so schwer? verwirrt

30.12.2008, 15:24

imag

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RE: absolute Konvergenz
wenn ich sie kennen würde, würde ich das machen.Kannst du mir die Regeln nennen?

30.12.2008, 15:42

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RE: absolute Konvergenz
Die hatte ich dir genannt:

Zitat:

Original von klarsoweit
Allgemein gilt: (n + 1)! = (n + 1) * n!

Setze n = k+v ein.

30.12.2008, 15:48

imag

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RE: absolute Konvergenz
ahh ok klar. dann erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{(k+v+1)}{(v+1)}\cdot |z| \end{eqnarray*}$

30.12.2008, 15:59

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RE: absolute Konvergenz
Joo, aber immer noch ist das z in Betragsstrichen.
Und nun den Grenzwert für v gegen unendlich bilden.

30.12.2008, 16:04

imag

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RE: absolute Konvergenz
kann ich da so argumentieren, dass ich sage da (v+1) gegen unendlich geht, für v gegen unendlich, ist das ganze kleiner als 1 und somit absolut konvergent?

30.12.2008, 17:48

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RE: absolute Konvergenz
Und das v im Zähler ignorierst du?

31.12.2008, 14:27

imag

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RE: absolute Konvergenz
mmmh stimmt. aber geht dann der zähler auch gegen unendlich?

31.12.2008, 17:11

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RE: absolute Konvergenz
Ja. Sowohl Zähler als auch Nenner gehen gegen unendlich. Aber das ist in diesem Fall kein Problem. Kürze einfach durch v. Augenzwinkern

31.12.2008, 19:08

imag

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RE: absolute Konvergenz
d.h. da |z|<1 ist, ist das ganze kleiner als eins d.h. absolut konvergent?

01.01.2009, 13:33

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RE: absolute Konvergenz
Genau genommen: der Grenzwert (den du eigentlich noch bestimmen mußt) ist < 1. Daraus folgt, daß es ein q < 1 gibt, so daß ab einem genügend großem Index v gilt: $\begin{eqnarray*} |\frac{a_{v+1}}{a_v}| \leq q \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt dann gemäß dem Quotientenkriterium die absolute Konvergenz. smile

04.01.2009, 20:13

imag

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RE: absolute Konvergenz
danke für die Hilfe. Weiß nur jetzt immer noch nicht genau wie ich den Grenzwert richtig bestimme.

05.01.2009, 08:28

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RE: absolute Konvergenz
Die Bestimmung von $\begin{eqnarray*} \lim_{v \to \infty}~\frac{k+v+1}{v+1} \end{eqnarray*}$ kann jeder Oberstufenschüler.

08.01.2009, 10:56

imag

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RE: absolute Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \lim_{v \to \infty}~\frac{k+v+1}{v+1}=\lim_{v \to \infty}~\frac{v+1}{v+1}+\frac{k}{v+1}=\lim_{v \to \infty}~1+\frac{k}{v+1} \end{eqnarray*}$
also geht der lim gegen 1!
hatte eine lange leitung!

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