absolute Konvergenz

20.12.2008, 18:35

imag

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absolute Konvergenz

Also, will folgende Aufgabe lösen:
Zeigen Sie: für alle $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N _0 \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} z\in\mathbb C, |z|<1 \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty {k+v\choose k}z^v \end{eqnarray*}$ absolut konvergent mit
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty {k+v\choose k}z^v=\frac{1}{(1-z)^{k+1}} \end{eqnarray*}$
also ich bin soweit, ich weiß dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty z^v \end{eqnarray*}$ konvergent ist mit
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty z^v=\frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$
ich weiß aber nicht so recht was ich mit dem $\begin{eqnarray*} {k+v\choose k} \end{eqnarray*}$ anfangen soll.Kann mir da jemand einen tipp geben?

20.12.2008, 21:22

AD

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RE: absolute Konvergenz

Zitat:

Original von imag
also ich bin soweit, ich weiß dass
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty z^v \end{eqnarray*}$ konvergent ist mit
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty z^v=\frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$

Das ist schon mal eine gute Basis für einen Induktionsbeweis, d.h., im Sinne eines Induktionsanfangs sowie auch ein Bestandteil des Induktionsschritts.

Im Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} k\to (k+1) \end{eqnarray*}$ müsstest du dann gemäß in

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-z)^{k+2}} = \frac{1}{(1-z)^{k+1}} \cdot \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$

rechts ein Cauchy-Produkt bilden...

21.12.2008, 09:55

imag

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RE: absolute Konvergenz
Um ein chauchy produkt bilden zu können brauche ich ja 2 reihen. d.h. ich müsste doch
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-z)^{k+1}} \cdot \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$
in 2 reihen umschreiben. jetzt hab ich nur ein problem wie ich das mache. ich weiß ja dass ich
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$ schreiben kann als
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty z^v \end{eqnarray*}$ nur was mache ich mit dem rest?
kann ich dies hier nochmal so umformen?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-z)^{k+1}}=\frac{1}{(1-z)^k}\cdot\frac{1}{1-z} \end{eqnarray*}$
was ich dann wiederrum teilsweise in eine reihe umschreiben könnte? dann hätte ich 2 reihen mit denen ich das chaucy produkt bilden kann. nur bleibt ja noch was davor stehen. bin mir aber nicht sicher ob ich das so darf.

22.12.2008, 10:22

imag

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RE: absolute Konvergenz
Kann mir vielleicht jemand sagen ob das stimmt bzw wie ich da weiter komme?
würde mir echt sehr helfen.

29.12.2008, 11:14

imag

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RE: absolute Konvergenz
weiß keiner ob das so stimmt, was ich da gemacht habe? bzw wenn ja wie ich da jetztv weitekomme?

29.12.2008, 11:27

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-z)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ nimmst du die Induktionsvoraussetzung. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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29.12.2008, 11:44

imag

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RE: absolute Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-z)^{k+1}}=\frac{1}{(1-z)^k}\cdot\frac{1}{1-z}=\sum_{v=0}^\infty {k+v \choose k}z^v\cdot\sum_{v=0}^\infty z^v \end{eqnarray*}$
so und damit muss ich dann das cauchy produkt bilden?

29.12.2008, 11:50

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Richtig wäre $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(1-z)^{k+2}} = \frac{1}{(1-z)^{k+1}} \cdot \frac{1}{1-z} = \sum_{v=0}^\infty {k+v \choose k}z^v \cdot \sum_{v=0}^\infty z^v \end{eqnarray*}$

Und ja, jetzt das Cauchy-Produkt bilden.

29.12.2008, 11:53

imag

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RE: absolute Konvergenz
das war ein tippfehler sollte es auch heißen.
so dann hätte ich:
$\begin{eqnarray*} c_n=\sum_{v=0}^n a_v\cdot b_{n-v}=\sum_{v=0}^n{k+v \choose k}z^v\cdot z^{n-v}=\sum_{v=0}^n{k+v \choose k}z^n \end{eqnarray*}$

29.12.2008, 11:59

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Wenn du vorne aus dem "Plus" ein "Mal" machst, sind das die Summanden der Cauchy-Produktreihe. smile

smile

29.12.2008, 11:59

imag

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RE: absolute Konvergenz
mein problem liegt jetzt darin wie ich statt dem n wieder ein unendlichzeichen erhalte bzw. dahin schreiben kann.

29.12.2008, 12:06

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Cauchy-Produktreihe: $\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n \cdot \sum_{n=0}^{\infty}~b_n = \sum_{n=0}^{\infty}~c_n \end{eqnarray*}$ mit dem c_n, wie du es in deinem Beitrag berechnet hast.

(Ich gehe jetzt mal was essen. Mahlzeit. smile

smile

)

29.12.2008, 12:07

imag

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RE: absolute Konvergenz
Guten Appetit.

29.12.2008, 12:17

imag

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RE: absolute Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n \cdot \sum_{n=0}^{\infty}~b_n = \sum_{n=0}^{\infty}~c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{v=0}^n{k+v \choose k}z^n)=\sum_{v=0}^{\infty}{k+v \choose k}z^v \end{eqnarray*}$
darf ich das so schreiben? bin ich dann schon fertig?
ich sollte ja die absolute konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^{\infty}{k+v \choose k}z^v \end{eqnarray*}$ zeigen, reicht das so schon aus?

29.12.2008, 12:36

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz

Zitat:

Original von imag
darf ich das so schreiben? bin ich dann schon fertig?

Weder noch. Das ist einfach falsch.

Zitat:

Original von imag
ich sollte ja die absolute konvergenz von $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^{\infty}{k+v \choose k}z^v \end{eqnarray*}$ zeigen, reicht das so schon aus?

Nun mal langsam. Es sind 2 Dinge zu zeigen. Einmal die absolute Konvergenz und einmal die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty {k+v\choose k}z^v = \frac{1}{(1-z)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ .

Die absolute Konvergenz ist noch separat zu zeigen. Momentan geht es um den Nachweis der obigen Gleichung. Dieses solltest du mit vollständiger Induktion machen. Und momentan befinden wir uns im Induktionsschritt. So, das mal zur allgemeinen Gemengelage.

Mit dem Induktionsschritt wärst du fertig, wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^n{k+v \choose k} = \binom{k+1+n}{k+1} \end{eqnarray*}$ gelten würde.

29.12.2008, 12:38

imag

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RE: absolute Konvergenz
Ok. und bis dahin stimmt es doch oder?
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}~a_n \cdot \sum_{n=0}^{\infty}~b_n = \sum_{n=0}^{\infty}~c_n=\sum_{n=0}^{\infty}(\sum_{v=0}^n{k+v \choose k}z^n) \end{eqnarray*}$

29.12.2008, 12:50

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Ja. Das z^n kannst du aus der inneren Summe ziehen und als Faktor vor diese schreiben.

29.12.2008, 12:55

imag

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RE: absolute Konvergenz
also so?
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=0}^{\infty}(z^n\sum_{v=0}^n{k+v \choose k}) \end{eqnarray*}$
Warum darf ich das? darf ich das weil ein mal dazwischen steht? Aber was mir das dann bringt habe ich noch nicht ganz verstanden.

29.12.2008, 13:13

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz

Zitat:

Original von imag
Warum darf ich das? darf ich das weil ein mal dazwischen steht?

Im Prinzip ja. Schlichte Anwendung des Distributivgesetzes. Ein- und derselbe Summand wird aus einer Summe ausgeklammert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von imag
Aber was mir das dann bringt habe ich noch nicht ganz verstanden.

Du willst doch $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty {k+v\choose k} z^v = \frac{1}{(1-z)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ mit vollständiger Induktion zeigen, oder? (Ich hoffe, du hast auch den Induktionsanfang gemacht.)

Beim Schritt k nach k+1 ist also die Gültigkeit von $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty {k+1+v \choose k+1} z^v = \frac{1}{(1-z)^{k+2}} \end{eqnarray*}$ zu zeigen. Jetzt hast du die rechte Seite genommen und mit Cauchy-Produkt umgeformt. Raus kommen muß die linke Seite. Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^n~\binom{k+v}{k} = {k+1+n \choose k+1} \end{eqnarray*}$ wäre, dann ist das Ziel erreicht.

29.12.2008, 13:31

imag

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RE: absolute Konvergenz
ja habe den induktionsanfang gemacht. ok jetzt habe ich den kompletten überblick.
aber wie zeige ich jetzt dass das stimmt?
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^n~\binom{k+v}{k} = {k+1+n \choose k+1} \end{eqnarray*}$

29.12.2008, 13:34

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Ich würde es mit vollständiger Induktion versuchen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.12.2008, 13:47

imag

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RE: absolute Konvergenz
ok dann habe ich doch als induktionsschritt:
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^n {k+1+v \choose k+1} \end{eqnarray*}$
ist das:
$\begin{eqnarray*} ={k+1+n \choose k+1} \end{eqnarray*}$ ??

29.12.2008, 14:02

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
verwirrt

verwirrt

Über welche Variable machst du die Induktion?

29.12.2008, 14:13

imag

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RE: absolute Konvergenz
ich hab sie hier über die variable k gemacht, muss sie aber über die variable n machen oder?
also:
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^{n^1}{k+1+v \choose k+1}={k+2+n \choose k+1} \end{eqnarray*}$
wäre dann das mein induktionsschritt, den ich beweisen muss?

29.12.2008, 14:17

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Ja, du mußt es über n machen. Und dann muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^{n+1}{k+v \choose k} = {k+2+n \choose k+1} \end{eqnarray*}$

Ist das denn so schwer? verwirrt

verwirrt

29.12.2008, 14:22

imag

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RE: absolute Konvergenz
ja ok so hatte ich da eigentlich auch. nur falsch abgeschrieben. aber weiß nicht richtig wie ich das jetzt weitermache.

29.12.2008, 14:31

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Das übliche Verfahren (das ausnahmsweise beim Beweis von $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^{\infty}~\binom{k+v}{k} \cdot z^v = \frac{1}{(1-z)^{k+1}} \end{eqnarray*}$ nicht so gut funktioniert): spalte den letzten Summanden aus der Summe ab.

29.12.2008, 14:45

imag

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RE: absolute Konvergenz
Ja, du mußt es über n machen. Und dann muß es heißen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^{n}{k+v \choose k} = {k+1+n \choose k}\cdot{k+1+n \choose k+1}={k+2+n \choose k+1} \end{eqnarray*}$

geht das so?

29.12.2008, 15:01

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Nein. Wie lautet denn der letzte Summand der Summe $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^{n+1}{k+v \choose k} \end{eqnarray*}$ ? Und wie kommst du dem Produkt? verwirrt

verwirrt

29.12.2008, 15:07

imag

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RE: absolute Konvergenz
das war komplett falsch.hatte was falsches eingefügt!

$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^{n}{k+v \choose k} +{k+n+1 \choose k} = {k+1+n \choose k+1}+{k+1+n \choose k}={k+2+n \choose k+1} \end{eqnarray*}$
jetzt müsste es richtiger sein.

29.12.2008, 15:17

imag

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RE: absolute Konvergenz
der letzte schritt habe ich nach einem satz gemacht der in meinem skript steht. hoffe das stimmt jetzt so.

29.12.2008, 15:17

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Ja. Rock

Rock

29.12.2008, 15:26

imag

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RE: absolute Konvergenz
Juhu! du hattest ja erwähnt dass ich die konvergenz noch einzel nachweisen müsste! ich weiß ja dass $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty {k+v\choose k}z^v \end{eqnarray*}$ absolut konvergent mit
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty {k+v\choose k}z^v=\frac{1}{(1-z)^{k+1}} \end{eqnarray*}$
sein soll! was genau muss ich denn jetzt noch nachweisen, habe ich das jetzt nicht schon soweit?

29.12.2008, 15:42

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Du mußt eben noch zeigen, daß überhaupt $\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty {k+v\choose k}z^v \end{eqnarray*}$ konvergent bzw. absolut konvergent ist.

29.12.2008, 15:50

imag

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RE: absolute Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty z^v \end{eqnarray*}$ ist absolut konvergent aber wie zeige ich das für den rest?

29.12.2008, 15:59

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Da gibt es doch diverse Kriterien für die Konvergenz von Reihen. Eins davon fängt mit Q an. Augenzwinkern

Augenzwinkern

29.12.2008, 17:42

imag

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RE: absolute Konvergenz
das ist dann bestimmt das quotientenkriterium. kenn die kriterien zwar alle aber hab noch probleme mit der anwendung.

29.12.2008, 18:19

klarsoweit

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RE: absolute Konvergenz
Richtig. Wende es einfach mal an.

29.12.2008, 19:20

imag

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RE: absolute Konvergenz
also das quotientenkriterium lautet: ist $\begin{eqnarray*} lim|\frac{a_{v+1}}{a_v}|<1 so ist \sum_{v=0}^\infty a_v \end{eqnarray*}$ absolut konvergent.jetzt ist die frage wie ich das hier anwenden soll.
über den limes muss noch ein strich.

29.12.2008, 19:25

imag

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RE: absolute Konvergenz
ist mein $\begin{eqnarray*} a_v \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \sum_{v=0}^\infty {k+v\choose k} \end{eqnarray*}$ ??

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