Konvex

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crazyy Auf diesen Beitrag antworten »
Konvex
hi leute,

könnt ihr mir tipps geben wie ich diese aufgabe lösen kann:

ich habe die funktion f(x)=|x|

ist die funktion f konvex auf
finden sie für jedes die Menge:




ok ich habe mir mal die definition von konvex nochmal angeschaut:

die Funktion f von einem Intervall nach konvex, wenn für alle aus I und t zwischen 0 und 1 gilt



mir ist jedoch noch nicht ganz klar wie ich das hier anwenden soll
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvex
Zitat:
Original von crazyy



mir ist jedoch noch nicht ganz klar wie ich das hier anwenden soll


Man muss feststellen, ob die Ungleichung



gilt oder nicht. Falls ja, dann ist f(x)=|x| konvex.
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe es mir nochmal überlegt, bin aber auch nicht so weiter gekommen, weil mir ausser der definition für konvexität nichts bekannt ist, wir haben weder konvexität anhand eines beispiels bewiesen sonst was anderes.

um es besser zu verstehen habe ich die funktion auch mal gezeichnet,

ich weiss zwar das diese funktion konvex ist, aber mir ist noch nicht ganz klar wie man das beweist.

kann ich sagen, dass die funktion f(x)=|x| in 0 nicht differenzierbar ist.

ich habe auch mal die ableitungen gebildet falls es hilft:



f''(x)=0

kann mir einer nochmal weiterhelfen
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

hilft mir keiner mehr

traurig
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Dreiecksungleichung zeigt die Definition
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

hmmich versuche es,

aber habe ne frage bevor ich es mache:

kann ich hier davon ausgehen, dass die ungleichung nicht negativ ist und quadrieren???
 
 
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Welche Ungleichung?

Allgemein gilt: Ohne stichfeste Argumentation darf man gar nichts annehmen Augenzwinkern
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvex
Zitat:
Original von Raumpfleger
Man muss feststellen, ob die Ungleichung




gilt oder nicht. Falls ja, dann ist f(x)=|x| konvex.



ich meinte eigentlich das hier, kann ich sagen das es nicht negativ ist
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich, aber du kannst die Ungleichung ja nicht annehmen, die sollst du ja zeigen
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

hmm, kannst du mir denn vielleicht erklären wie ich das zeigen kann,

du hast zwar gesagt das ich das mit der dreiecksungleichung machen kann, aber wie kann ich anfangen
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Nein tut mir leid, das steht alles bereits da. Ich hab dir sogar gesagt warum es so ist. Du musst nur noch in die Formel einsetzen
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe es mal versucht aber komme nicht weiter, bei der dreiecksungleichung kann man ja quadrieren, wenn die ungleichung nicht negativ ist, das habe ich mal versucht und dann kann man ja gleiche terme wegstreichen aber das klappt bei mir nicht:




ist das denn überhaupt richtig
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

Was hast Du vor? Was bringt das Quadrieren? Und warum schreibst Du immer noch f(...), wo es doch um die Betragsfunktion geht? verwirrt

Zu beweisen ist, dass für alle und alle mit gilt:



Das ist einfach die Anwendung der obigen Definition auf die konkrete Aufgabe -- Raumpfleger hat das bereits oben geschrieben.

Jetzt fängst Du mit der linken Seite der an und wendest die Dreiecksungleichung an.

Diese lautet:



Was erhältst Du?
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvex
Zitat:
Original von crazyy
Zitat:
Original von Raumpfleger
Man muss feststellen, ob die Ungleichung




gilt oder nicht. Falls ja, dann ist f(x)=|x| konvex.



ich meinte eigentlich das hier, kann ich sagen das es nicht negativ ist


eigentlih wollte ich es ja auch mchen. naja egal

also du meinst ich soll mit der linken seite anfangen, also mit:



ok wenn ich die dreiecksungleichung anwende:



dann(lasse paar schritte wegsmile



weil es gilt für beliebige

dann umgekehrte dreiecksgleichung:



ich setze für und

also
und wenn man für setzt, dann:
und zusammen:
wenn man y durch -y ersetz:

und insgesamt dann:
||x|-|y||\leq |x\pm y|\leq |x|+|y| für alle x,y \in \mathbb R


ist das so richtig??
kiste Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht in einer Zeile. Nutze
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

am ende muss:

für alle


aber ist das denn so richtig??

ich weiss nicht wie ich das mit |ab|=|a|*|b|

machen soll:



=
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach so:



Man hat nur die Dreiecksungleichung und die Regel |ab| = |a||b| benutzt.

Und jetzt denke daran, dass 0 < t < 1 gilt, und schreibe die entsprechenden Beträge um: Was ist |t| und was ist |1 - t|? Dann hast Du die gesuchte Ungleichung schon bewiesen.


Es kann sein, dass Du mit Deinen Umformungen auch irgendwann auf die richtige Lösung kommst, aber der Ansatz ist in jedem Fall viel, viel zu umständlich. Wenn Du Deine Rechnungen nicht einfach in den Papierkorb werfen möchtest, kann ich mir morgen nochmal alles durchsehen. Aber ich würde Dir eigentlich raten, nochmal von vorne anzufangen, und zwar wie oben beschrieben -- tut mir leid wegen der Mühe. :-(
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Jacques
|t||x| + |1 - t||y|[/latex]



also ich würde dies so umschreiben:



damit hat man es ja bewiesen

oder nicht

da t ja nicht negativ sein kann habe ich die betragstriche weggelassen
Jacques Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, und schon bist Du fertig -- und hast kaum eine Zeile für den Beweis gebraucht. Augenzwinkern
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvex
danke euch für eure hilfe also haben wir bewiesen das f(x)= |x| konvex ist

Augenzwinkern

Zitat:
Original von crazyy

finden sie für jedes die Menge:






könnt ihr mir erklären wie ich das hier machen könnte
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

so erst einmal frohe weinachten an alle,... Augenzwinkern

könnt ihr mir bei dieser frage nochmal weiterhelfen
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvex
Zitat:
Original von crazyy

finden sie für jedes die Menge:






f(x) ist wieder |x|? Dann muss man x fixieren und sucht jetzt alle l, die für ein beliebiges y die Gleichung erfüllen. Welche Menge kann das sein, wenn Du geometrisch denkst oder eine Zeichnung machst, zunächst einmal für x = 0?
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn ich für x=0 einsetze, lösen sich ja diese x auf

dann würde da



also und dann würde da

oder nicht
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crazyy
also wenn ich für x=0 einsetze, lösen sich ja diese x auf,dann würde da



also und dann würde da

oder nicht


Nur für y > 0 gilt l <= 1, für y < 0 gilt aber l <= -1, das y sollte alle reellen Zahlen durchlaufen. Nun fährt man fort mit x ungleich Null, auch hier gibt es zwei Fälle, x negativ und x positiv, x = 0 ist der Grenzfall zwischen beiden, wenn man sich Bilder zeichnet, Stichwort: Kurvendiskussion.
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

also wenn dann ist es bei y>0 dann

und analog wenn x negativ
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crazyy
also wenn dann ist es bei y>0 dann

und analog wenn x negativ


Wieso gleich ?? Betrachte irgendein x, zum Beispiel x = 7.6543210 und auch x = -7.6543210, x soll ja beliebig aus den reellen Zahlen sein (man kann auch ein x nehmen, mit dem man einfacher rechnen kann: x = 1/2 und x = -1/2). Zeichne zwei Funktionsgraphen, gehe schrittweise vor.
crazyy Auf diesen Beitrag antworten »

ist ja das selbe wie:



wenn wir jetzt x=0,5 nehmen

für y>0

käme dann raus 1-1 =0 l

und bei y<0

-1-1= -2 l

für x=-0,5
und y>0

1 -1 = 0 l

für y<0
-1-1= -2 l

oder nicht
Raumpfleger Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von crazyy
ist ja das selbe wie:





Definitiv nicht! Man kann nicht in die Summen kürzen: Sei y = 4, x = -1 dafür ist (|y| - |x|)/(y - x) = 3/5, dagegen (|y|/y) - (|x|/x) = 1 - (-1) = 2, dann also 3/5 = 2 ... ich bitte Dich.
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