Komplizierter Erwartungswert

21.12.2008, 14:14	Ratsuchender	Auf diesen Beitrag antworten »
Komplizierter Erwartungswert Gegeben sei eine Urne mit 12 verschiedenen Kugeln. Es wird 7 mal eine Kugel gezogen und diese wieder zurück gelegt. Wie groß ist die erwartete Anzahl von verschiedenen Kugeln, die gezogen wurden?
21.12.2008, 15:02	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ bezeichne die Anzahl der verschiedenen Kugeln unter den 7 gezogenen. Ferner habe für $\begin{eqnarray} 1 \leq i \leq 7 \end{eqnarray}$ die Zufallsgröße $\begin{eqnarray} Y_i \end{eqnarray}$ den Wert $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ , falls die $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ -te gezogene Kugel nicht unter den ersten $\begin{eqnarray} i-1 \end{eqnarray}$ Kugeln vorkam, und $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ sonst (insbesondere ist also $\begin{eqnarray} Y_1 \end{eqnarray}$ konstant $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ ). Dann gilt $\begin{eqnarray} X = Y_1 + Y_2 + Y_3 + Y_4 + Y_5 +Y_6 +Y_7 \end{eqnarray}$ Jetzt berechne den Erwartungswert der $\begin{eqnarray} Y_i \end{eqnarray}$ und verwende die Additivität des Erwartungswertes. Ich komme auf rund 5,47 als Erwartungswert für $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ .
21.12.2008, 16:09	Ratsuchender	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort. Damit komme ich auf $\begin{eqnarray} P(Y_1=1)=1, P(Y_2=1)=11/12, P(Y_3=1)=(11/12)^2, P(Y_4=1)=(11/12)^3, ... \end{eqnarray}$ Insgesamt erhalte ich damit genau den Erwartungswerte, den du auch ausgerechnet hast. Ich frage mich allerdings noch ein wenig, wie man z. B. P(Y_4=1)=(11/12)^3 am besten erklären kann. Hast du da einen Tipp für mich?
21.12.2008, 16:36	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast es doch selbst herausbekommen. Dann versuche auch, es zu verbalisieren. Das ist eine nützliche Übung. Wie wäre es bei i=4 mit einer Bernoulli-Kette der Länge 3? Was wird man wohl als Erfolg und was als Mißerfolg deklarieren?

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