Integration von Differentialformen

21.12.2008, 15:24

praunss

Integration von Differentialformen

Hi, wir machen derzeit Integration im R^n , die noch einigermaßen verständlich ist, allerdings setzt es bei mir bei der integraiton von differentialformen aus. im forster hab ich eine aufgabe gefunden, die mir sehr helfen würde, wenn ich sie verstehen würde, allerdings steht da leider keine lösung.
deshalb die frage an euch:

Wir sind im R^3
und haben eine 2-Form: $\begin{eqnarray*} \omega := 3zdy \wedge dz + (x^2+y^2)dz \wedge dx + xz dx \wedge dy \end{eqnarray*}$
Sei M die folgende zweidimensionale Untermannigfaltigkeit
$\begin{eqnarray*} M := {(x,y,z)\in R^3 : z=xy} \end{eqnarray*}$
Man berechne $\begin{eqnarray*} \int_A \omega \end{eqnarray*}$ , wobei
$\begin{eqnarray*} A:= {(x,y,z)\in M : |x|\leq 1,|y|\leq 1} \end{eqnarray*}$

Ich bin an die Aufgabe so rangegangen:
Mein Integral sieht so aus
$\begin{eqnarray*} \int_A 3z~dydz + \int_A(x^2+y^2)~dzdx + \int_A xz~dxdy \end{eqnarray*}$
Dann habe ich z durch xy ersetzt und wollte auch dz ersetzen durch $\begin{eqnarray*} dz=ydx + xdy \end{eqnarray*}$ . Die doppelten dx und dy lass ich wegefallen weil dd=0 (keine ahnung ob man das überhaupt hier machen darf) und integrier dann den rest.

Ich glaube kaum dass das richtig ist, also zu hülf smile

danke im vorraus!

21.12.2008, 17:41

Raumpfleger

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RE: Integration von Differentialformen

Zitat:

Original von praunss

Dann habe ich z durch xy ersetzt und wollte auch dz ersetzen durch $\begin{eqnarray*} dz=ydx + xdy \end{eqnarray*}$ . Die doppelten dx und dy lass ich wegefallen weil dd=0 (keine ahnung ob man das überhaupt hier machen darf) und integrier dann den rest.

Man darf die Rechenregeln für das äussere Produkt anwenden, eine doppelte Anwendung des äusseren Differentials (von wegen dd<?> = 0) kommt nicht vor, also man schreibt $\begin{eqnarray*} 3z dy \wedge dz = 3 x y dy \wedge d(yz) = 3 x y dy \wedge (y dz + z dy) = 3 x y^2 dy \wedge dz + 3 x y z dy \wedge dy \end{eqnarray*}$ und erinnert sich, dass $\begin{eqnarray*} dy \wedge dy \end{eqnarray*}$ einen bestimmten Wert hat. Dann integriert man.

21.12.2008, 17:44

Leopold

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Um kein Durcheinander aufkommen zu lassen, würde ich zwei neue Variablen einführen.

$\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist ja der Graph der Funktion $\begin{eqnarray*} z = f(x,y) = xy \end{eqnarray*}$ über dem Quadrat $\begin{eqnarray*} I^2 = [-1,1]^2 \end{eqnarray*}$ . Du kannst daher folgendermaßen parametrisieren:

$\begin{eqnarray*} \varphi: \ \ x = s \, , \ \ y = t \, , \ \ z = st \ \ \text{mit} \ \ s,t \in [-1,1] \end{eqnarray*}$

Man errechnet (und bis auf die Umbenennungen ist das dasselbe wie bei dir):

$\begin{eqnarray*} \dd x = \dd s \, , \ \ \dd y = \dd t \, , \ \ \dd z = t~\dd s + s~\dd t \end{eqnarray*}$

Jetzt substituiere in $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ entsprechend (bestimme also mit anderen Worten die zurückgeholte Differentialform $\begin{eqnarray*} \varphi^{*} \omega \end{eqnarray*}$ ) und berechne

$\begin{eqnarray*} \int_A \omega = \int_{I^2} \varphi^{*} \omega \end{eqnarray*}$

Ist eigentlich in der Aufgabe etwas über die Orientierung der Mannigfaltigkeit vorausgesetzt? (Ist aber letztlich egal, denn wenn stimmt, was ich berechnet habe, dann ist der Integralwert 0.)

21.12.2008, 19:14

praunss

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@ Raumpfleger:
ich versteh nicht ganz wie mir das weiterhelfen soll. Nach deiner Rechnung habe ich ja wieder ein Keilprodukt von dy und dz, dz wollte ich aber ersetzt haben, oder wie würdest du da integrieren?

@leopold: also wenn ich das richtig verstehe sagst du dasselbe wie ich berits geschrieben habe und verrätst mir nciht wie man das richtig substituiert, aber genau das ist ja mein problem ^^

21.12.2008, 22:50

Leopold

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Ersetze alle $\begin{eqnarray*} x,y,z \end{eqnarray*}$ durch ihre Ausdrücke in $\begin{eqnarray*} s,t \end{eqnarray*}$ , ebenso $\begin{eqnarray*} \dd x, \dd y, \dd z \end{eqnarray*}$ , wie bereits berechnet. Das ist dann schon dein $\begin{eqnarray*} \varphi^{*} \omega \end{eqnarray*}$ . Das mußt du jetzt noch vereinfachen nach den Regeln der äußeren Multiplikation: $\begin{eqnarray*} \dd s \wedge \dd s = 0 \, , \ \dd t \wedge \dd s = - \dd s \wedge \dd t \end{eqnarray*}$ .
Ich habe

$\begin{eqnarray*} \varphi^{*} \omega = \left( -s^3 - 4st^2 + s^2 t \right) \dd s \wedge \dd t \end{eqnarray*}$

22.12.2008, 09:55

praunss

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ahh.. ok verstehe Freude

wenn ich das mache, dann bekomme ich dasselbe wie du, und bei der integration kommt bei mir 0 raus.

und wenn wir schon dabei sind habe ich gleich noch eine frage:

2-Formen zeichnen sich gerade dadurch aus, dass ich z.b. nur 2 differentialformen durch ein äußeres Produkt verbinde. Bei der Integration lässt man den Keil schlicht weg und integriert zb über dxdy.
Angenommen ich will aber jetzt eine andere Darstellung verwnden anstatt kartesische Koordinaten, die dann durch einen Diffeomorphismus gegeben sind (z.b. kugelkoordinaten). Außerdem befinden wir uns im dreidimensionalen. Mein integral geht aber nur über zb dxdy (aufgrund der 2-Form) und nicht dxdydz, also kann ich nicht den normalen Transformationssatz anwenden um mir das volumenelement in kugelkoordinaten zu beschaffen. ich brauche ja nur dxdy in kugelkoordinaten.
ist es erlaubt einfach die x und y komponente der kugelkoordinaten zu nehmen (also x=rcos(a)sin(b) und y=rcos(a)cos(b)) und hier die determinante der Jacobimatrix zu bestimmen oder mache ich da einen fehler?

hoffe das war halbwegs verständlich ^^

22.12.2008, 10:57

praunss

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args, jetzt wollte ich noch was hinzufügen zu meiner fragen, aber wa leider zu spät:

ich meinte eigentlich nicht nur die jacobimatrix und determinanten ausrechnen sondern die Transponierte Jacobimatrix mal die Jacobimatrix nehmen und dann die determinante bilden.
ist das richtig?

22.12.2008, 11:22

Leopold

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Bei 3-Formen kannst du das so machen, brauchst es aber nicht, denn der Cartansche Kalkül denkt für dich mit. Die Sache mit der äußeren Multiplikation ist gerade so gemacht, daß sie die ganzen Integrationsregeln der Vektoranalysis unter ein gemeinsames Dach (hübscher Witz!) stellt. Willst du zum Beispiel Kugelkoordinaten einführen, etwa so

$\begin{eqnarray*} x = r \cos \varphi \, \cos \vartheta \, , \ \ y = r \sin \varphi \, \cos \vartheta \, , \ \ z = r \sin \vartheta \end{eqnarray*}$

so bekommst du

$\begin{eqnarray*} \dd x = \cos \varphi \, \cos \vartheta ~ \dd r - r \sin \varphi \, \cos \vartheta ~ \dd \varphi - r \cos \varphi \, \sin \vartheta ~ \dd \vartheta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dd y = \sin \varphi \, \cos \vartheta ~ \dd r + r \cos \varphi \, \cos \vartheta ~ \dd \varphi - r \sin \varphi \, \sin \vartheta ~ \dd \vartheta \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dd z = \sin \vartheta ~ \dd r + r \cos \vartheta ~ \dd \vartheta \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du die Volumenform $\begin{eqnarray*} \dd x \wedge \dd y \wedge \dd z \end{eqnarray*}$ durch bloßes Einsetzen von kartesischen Koordinaten auf Kugelkoordinaten umrechnen. Es ergibt sich ganz von alleine

$\begin{eqnarray*} \dd x \wedge \dd y \wedge \dd z = \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,\vartheta)}~\dd r \wedge \dd \varphi \wedge \dd \vartheta \end{eqnarray*}$

worin der formale Bruch die Jacobische Determinante der Transformation bezeichne. Du kannst das ja einmal speziell für Kugelkoordinaten oder gleich allgemein nachrechnen. Das gibt dir ein gutes Gefühl für die Sache.
Und bei 2-Formen geht das genau so: einsetzen und nach den Regeln des Dachproduktes ausrechnen.

22.12.2008, 12:55

praunss

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sehr schön!
hab ein paar sachen nachgerechnet und erkenne jetzt endlich den sinn der formentheorie bzgl der integration im R^n ! danke Freude

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